2017　関西大　理系学部2月5日実施MathJax

【１】　$e$を自然対数の底とし，関数$f(x)=(x-1)e^{-x}$がある．また，$y=f(x)$のグラフを$C$とし，$C$上の点で$y$座標が最大となる点を$\mathrm{A}\text{，}$変曲点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$と$f^{\prime }(x)$の導関数$f^{″}(x)$を求め，$f(x)$の増減と凹凸を表に示せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．

(3)　点$\mathrm{B}$における$C$の接線の方程式を求めよ．

(4)　(3)の接線と$C\text{，}$および直線$x=2$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　平面上に$\mathrm{OA}=2\text{，}\mathrm{OB}=2\sqrt{3}\text{，}\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}$の$▵\mathrm{OAB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．また，点$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，点$\mathrm{P}$を直線$\mathrm{OA}$上に，点$\mathrm{Q}$を直線$\mathrm{OB}$上に，$\angle \mathrm{PMQ}=90\mathrm{°}$を満たすようにとる．次の$\boxed{}$をうめよ．ただし，$\boxed{\text{⑥}}\text{，}\boxed{\text{⑦}}$は数値でうめよ．

(1)　$p\text{，}q$を実数とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=p\overrightarrow{a}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$は$p\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\boxed{\text{①}}$と表される．また，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=q\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$は$q\text{，}\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=\boxed{\text{②}}$と表される．

(2)　(1)のとき，$p$と$q$には関係式$\boxed{\text{③}}=2$が成り立つ．また，$0\leqq p\leqq 1$のとき，$q$のとり得る値の範囲は$\boxed{\text{④}}$である．

(3)　点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点とする．直線$\mathrm{OM}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点を${\mathrm{P}}^{\prime }$とすると，$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}$は$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}=\boxed{\text{⑤}}$と表される．また，線分$\mathrm{OM}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{AR}$と線分$\mathrm{PR}$の長さの和が最小となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\boxed{\text{⑥}}\overrightarrow{\mathrm{OM}}$である．このとき，$▵\mathrm{PQR}$の面積は$\boxed{\text{⑦}}$である．

【３】　複素数平面上に$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{P}(t)$がある．ただし，$i$は虚数単位であり，$\alpha =2+3i\text{，}\beta =1+5i$である．また，$t$は実数である．次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$間の距離は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$r>0\text{，}0\leqq \theta <2\pi$とする．$\alpha \beta =r(\cos \theta +i\sin \theta )$と表したとき，$r=\boxed{\text{②}}\text{，}\theta =\boxed{\text{③}}$である．よって，点$\mathrm{C}({\alpha }^n{\beta }^n)$が実軸にあるような最小の正の整数$n$は$n=\boxed{\text{④}}$である．

(3)　$t<0$とする．$\mathrm{O}(0)$を原点とし，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{APB}$が成り立つような$t$の値は$t=\boxed{\text{⑤}}$である．

(4)　点$\mathrm{A}$を中心とし，点$\mathrm{B}$を反時計回りに$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{D}(\gamma )$とする．$\gamma$の実部を$a\text{，}$虚部を$b$とすると，$a$と$b$は$\sin \theta \text{，}\cos \theta$を用いて，$a=\boxed{\text{⑥}}\text{，}b=\boxed{\text{⑦}}$と表される．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{L}\text{，}\mathrm{S}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$の$7$文字を横一列に並べる．

(ⅰ)　「$\mathrm{KAISERS}$」や「$\mathrm{RASKIES}$」のように$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{E}$がこの順に並ぶのは全部で$\boxed{\text{①}}$通りある．

(ⅱ)　「$\mathrm{KIRSEAS}$」や「$\mathrm{SAISERK}$」のように$2$つの$\mathrm{S}$の間に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{E}$のうち，ちょうど$2$文字が並ぶのは全部で$\boxed{\text{②}}$通りある．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき，方程式$3\cos 2\theta -4\sin \theta -1=0$を満たす$\sin \theta$の値は$\sin \theta =\boxed{\text{③}}$であり，この方程式のすべての解の和は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　双曲線$C\text{：}{x}^2-y^2=1$の焦点の座標は$\boxed{\text{⑤}}$である．また，長軸の長さと単軸の長さの比が$\sqrt{2}:1$であり，焦点が$C$の焦点と一致するような楕円の方程式は$\boxed{\text{⑥}}=1$である．