2017　関西大　後期　理系学部3月4日実施MathJax

【１】　$f(x)=e^x$とおき，定数$k$に対して$g(x)=k{e}^{-x}+1$とおく．次の$\boxed{}$をうめよ．

　$g(x)$の第$1$次導関数，第$2$次導関数を求めると，$g^{\prime }(x)=\boxed{\text{①}}\text{，}{g}^{″}(x)=\boxed{\text{②}}$である．

　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$で交わるような$k$の範囲は$\boxed{\text{③}}$である．$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha \text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標を$\beta$とし，$\alpha <\beta$とする．このとき$e^{\beta }-e^{\alpha }$の値を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{④}}$であり，$e^{-\beta }-e^{-\alpha }$の値を$k$を用いて表すと$\boxed{\text{⑤}}$である．したがって，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$は，$S=\beta -\alpha -\boxed{\text{⑥}}$と表される．ここで，$\boxed{\text{⑥}}$は$k$の式とする．$\beta -\alpha =1$のとき，$k$の値は$\boxed{\text{⑦}}$であり，$S$の値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑧}}}{e+1}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　複素数平面上の点$z$が原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上を動くとき，点$w={\displaystyle \frac{3z+1}{2z+1}}$が描く図形を調べる．ただし，$r>{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$z$を$w$で表すと

$z={\displaystyle \frac{1-w}{2w-\boxed{\text{①}}}}$

となる．$z$が$\mathrm{O}$を中心とする半径$r$の円周上を動くので，$z\bar{z}=\boxed{\text{②}}$が成り立つ．ただし，$\bar{z}$は$z$の共役複素数を表す．

$\left({\displaystyle \frac{1-w}{2w-\boxed{\text{①}}}}\right)\stackrel{‾}{\left({\displaystyle \frac{1-w}{2w-\boxed{\text{①}}}}\right)}=\boxed{\text{②}}$

を整理すると，

$(\boxed{\text{③}})w\bar{w}-(\boxed{\text{④}})(w+\bar{w})=1-9r^2$

となる．したがって，

$(w-\boxed{\text{⑤}})(\bar{w}-\boxed{\text{⑤}})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{{(4r^2-1)}^2}}$

となり，$w$は$\boxed{\text{⑤}}$を中心とする半径$\boxed{\text{⑦}}$の円を描く．

【３】　次の$\boxed{}$をうめよ．

　定数$a\text{，}b$が$0<a<b$を満たすとする．曲線$y=\log x$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\log a)\text{，}\mathrm{B}(b,\log b)$を通る直線の方程式を$y=g(x)$とすると，$g(x)=\boxed{\text{①}}(x-b)+\log b$と表される．関数$f(x)$を$f(x)=\log x-g(x)$とすると，$f(a)=f(b)=\boxed{\text{②}}$であるから，平均値の定理によって，$f^{\prime }(c)=0$かつ$a<c<b$を満たす$c$が少なくとも$1$つ存在する．実際に$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めてみると，$f^{\prime }(c)=0$を満たす$c$は$1$つだけ存在して，その値は$c=\boxed{\text{③}}$であることがわかる．したがって，$a<\boxed{\text{③}}<b$であり，$f(x)$は区間$[a,\boxed{\text{③}}]$で増加し，区間$[\boxed{\text{③}},b]$で減少するので，開区間$(a,b)$で

$f(x)>\boxed{\text{②}}\cdots$(1)

が成り立つ．

　$0<t<1$とする．このとき，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点の$y$座標は$\log (\boxed{\text{④}})$と表すことができる．不等式(1)より，

$(1-t)a+tb>\boxed{\text{④}}\cdots$(2)

が成り立つ．不等式(2)の両辺は$t=0$と$t=1$のときも値を比較することができ，それらは等しい．したがって，正の定数$k$について，

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{(1-t)a+tb\}}^{k}dt>{\displaystyle {\int }_0^1}{(\boxed{\text{④}})}^{k}dt\cdots$(3)

が成り立つ．ここで，両辺の定積分を計算すると，

${\displaystyle {\int }_0^1}{\{(1-t)a+tb\}}^{k}dt=\boxed{\text{⑤}}\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}{(\boxed{\text{④}})}^{k}dt=\boxed{\text{⑥}}$

となる．$\boxed{\text{⑤}}$と$\boxed{\text{⑥}}$を用いて不等式(3)を整理すると，

$\log b-\log a>{\displaystyle \frac{k+1}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{(b-a)(\boxed{\text{⑦}})}{b^{k+1}-a^{k+1}}}={\displaystyle \frac{(k+1)(b-a)}{b^{k+1}-a^{k+1}}}\cdot {\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑦}}}{k}}$

となる．さらに，

$\underset{k\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(k+1)(b-a)}{b^{k+1}-a^{k+1}}}\cdot {\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑦}}}{k}}=\boxed{\text{⑧}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　次のように定められる数列$\{a_n\}$

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2{a_n}^2$

の一般項は$a_n=2^{\boxed{\text{①}}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$x$の関数$y=x-\sqrt{1-x^2}$がとりうる値の範囲を$y$の不等式で表すと$\boxed{\text{②}}$である．ただし，$x$は$y$が定義される範囲を動くものとする．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　$0\leqq x<2\pi$のとき，不等式$\cos 2x-3\sqrt{2}\cos x+3<0$の解は$\boxed{\text{③}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　原点で垂直に交わる傾きが$0$でない$2$直線と放物線$y=x^2$の原点以外の交点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．距離$\mathrm{AB}$の最小値は$\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$16!$が$2^m$で割り切れるような自然数$m$で最大のものは$\boxed{\text{⑤}}$である．一般に$n$を自然数としたとき，$(2^n)!$が$2^m$で割り切れるような自然数$m$で最大のものを，$n$を用いて表すと$\boxed{\text{⑥}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(6)　極方程式$r={\displaystyle \frac{3}{2-\cos \theta }}$を直交座標の$x\text{，}y$の方程式で表すと，楕円の方程式$\boxed{\text{⑦}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$となる．