2017　防衛医科大学校　医学科択一式MathJax

【１】　$2$つの関数$f(x)=x^2+x-2\text{，}$$g(x)=x^2+6x+4$がある．$f(x)\geqq 0$かつ$g(x)\leqq 0$を満たす$x$の最小値を$\alpha \text{，}$最大値を$\beta \text{，}$$f(x)\leqq 0$かつ$g(x)\leqq 0$を満たす$x$の最大値を$\gamma$とする．${\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{\gamma -\beta }}$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{5}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{3}{2}}+\sqrt{5}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【２】　座標平面上の$4$点$(1,2)\text{，}$$(15,65)\text{，}$$(1+a,2-a)\text{，}$$(15+a,65-a)$を頂点とする平行四辺形がある．この平行四辺形の辺上に$x$座標，$y$座標がともに整数となる点が$20$個あるような正の整数$a$はいくらか．

$\text{(1)}2$$\text{(2)}3$$\text{(3)}4$$\text{(4)}5$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【３】　全体集合を$U$とし，$U$の部分集合$A\text{，}$$B\text{，}$$C$について各集合の要素の個数が$n(A)=10\text{，}$$n(B)=12\text{，}$$n(C)=15$であり，$n(A\cap B)=8\text{，}$$n(B\cap C)=7\text{，}$$n(C\cap A)=5$となっている．$n(A\cap \bar{B}\cap \bar{C})=a\text{，}$$n(\bar{A}\cap B\cap \bar{C})=b\text{，}$$n(\bar{A}\cap \bar{B}\cap C)=c\text{，}$$d=a+b+c$とすると，取り得るすべての$d$の和はいくらか．

$\text{(1)}25$$\text{(2)}27$$\text{(3)}29$$\text{(4)}31$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【４】　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と$1$つの玉がある．玉はいずれかの箱に入っており，$1$回の移動でその玉を別の箱に移動する試行を考える．その際，玉が入っていない$2$つの箱に玉が移動する確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．最初に玉が$\mathrm{A}$に入っているものとする．$4$回の移動で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$すべての箱に玉が入ることになる確率はいくらか．ただし，移動を始める前に玉が$\mathrm{A}$に入っていたことは含めずに考えるものとする．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{3}{16}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{7}{16}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{11}{16}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{13}{16}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【５】　$x>0$として，関数$f(x)=(2x+{\displaystyle \frac{27}{x+1}}+2)(x+{\displaystyle \frac{6}{x+1}}+1)$の最小値を$\alpha \text{，}$最小値を与える$x$を$\beta$とする．このとき，$\alpha +\beta$はいくらか．

$\text{(1)}71$$\text{(2)}73$$\text{(3)}75$$\text{(4)}77$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【６】　$c={\displaystyle \frac{1}{1+4i}}+{\displaystyle \frac{1}{2+3i}}$$+{\displaystyle \frac{1}{3+2i}}+{\displaystyle \frac{1}{4+i}}$であるとき，$|c-\bar{c}|$はいくらか．ここで，$i$は虚数単位である．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{200}{221}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{250}{221}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{300}{221}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{350}{221}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【７】　円$x^2+y^2=5^2$と直線$x-7y+25=0$の$2$つの交点を通る半径$5\sqrt{2}$の円は$2$つある．この$2$つの円が重なる部分の面積はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{25}{3}}\pi -25$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{25}{2}}\pi -25\sqrt{2}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{50}{3}}\pi -25\sqrt{3}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{100}{3}}\pi -25\sqrt{3}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【８】　関数$f(x)=\alpha +\sqrt{3}\sin \beta x+\cos \beta x$$\text{（}\alpha \text{，}$$\beta$は定数）が周期$3\pi$の周期関数で，最大値が$5$であるとする．このとき，$f(x)=5$となる$x$$\text{（}0\leqq x\leqq 3\pi \text{）}$を$x_0$とすると，$(\alpha +\beta )\times x_0$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{11}{6}}\pi$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{13}{6}}\pi$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{17}{6}}\pi$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{19}{6}}\pi$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【９】　$6^{\frac{1}{500}}$の常用対数は$1$より小さく，小数表示したとき，小数第$1$位から$n$位まで$0$が続き，$n+1$位で初めて$0$以外の数字$k$が現れる数である．このとき，$n+k$はいくらか．

$\text{(1)}3$$\text{(2)}4$$\text{(3)}5$$\text{(4)}6$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【10】　座標平面上の放物線$y=x^2-4x+{\displaystyle \frac{5}{2}}$の上にある$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$のすべてについて，その点における法線が点$(2,0)$を通るものとする．このとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$の面積はいくらか．

$\text{(1)}1$$\text{(2)}2$$\text{(3)}3$$\text{(4)}4$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【11】　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}$$+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}}})$を小数表示したとき，整数部分の値はいくらか．

$\text{(1)}28$$\text{(2)}29$$\text{(3)}30$$\text{(4)}31$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【12】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$および，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$\text{（}s$は実数）となる点$\mathrm{P}$が存在する．$s$の関数である$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$が$s=-3$で最小値$2$をとるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【13】　座標空間内に点$\mathrm{P}$$(2,2,-2)$と直線$l\text{：}(x,y,z)=(5,-2,3)+s(-2,2,1)$があり，$\mathrm{P}$の$l$に関して対称な点${\mathrm{P}}^{\prime }$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }}$のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta$はいくらか．ただし，$s$は実数である．

$\text{(1)}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{10}}{15}}$$\text{(2)}-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}}$$\text{(3)}-{\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{15}}$$\text{(4)}-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{15}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【14】　座標平面上に点$\mathrm{A}$$(0,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(c,0)\text{，}$$\mathrm{O}$$(0,0)$がある．ただし，$b<0\text{，}$$c>0\text{，}$$\mathrm{\angle BAO}=2\mathrm{\angle CAO}$である．$\mathrm{\angle BAC}=\theta \text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S$とすると，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{\theta }}$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{9}{2}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{11}{2}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{13}{2}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【15】　座標平面上の曲線$y=\sqrt{x+4}$と直線$y=x+2$と$x$軸で囲まれる図形を$y$軸の周りに$1$回転させてできた立体の体積はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{57}{5}}\pi$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{62}{5}}\pi$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{67}{5}}\pi$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{72}{5}}\pi$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．