2017　防衛医科大学校　医学科記述式MathJax

【１】　以下の問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{AB}=c\text{，}$$a\cos A=c\cos C$であるとする．このとき，$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．

【１】　以下の問に答えよ．

(2)　座標平面上に放物線$C\text{：}y=x^2-2x-3\text{，}$直線$l_1\text{，}$$l_2$がある．$l_1\text{，}$$l_2$は点${\mathrm{P}}_1$$(-1,0)$を通るものとし，$C$と$l_1$の交点のうち${\mathrm{P}}_1$ではない方を${\mathrm{P}}_2\text{，}$$C$と$l_2$の交点のうち${\mathrm{P}}_1$ではない方を${\mathrm{P}}_3$とする．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3$と$C$で囲まれる図形の面積が線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と$C$で囲まれる図形の面積の$8$倍で，${\mathrm{P}}_3$の$x$座標から${\mathrm{P}}_2$の$x$座標を引いた値が$5$のとき，${\mathrm{P}}_3$の$y$座標は${\mathrm{P}}_2$の$y$座標の何倍か．

【１】　以下の問に答えよ．

(3)　平面上にある$n$個の円は，どの円も他のすべての円と$2$つの交点をもち，$3$つ以上の円は$1$点で交わらないように描かれているものとする．このとき，すべての交点の数を$a_n$とする．$a_p-a_q=140\text{，}$$p-q=4$であるとき，$p$はいくらか．

【２】　以下の問に答えよ．

(1)　多項式$f(x)={(x-\sqrt{c})}^{2n+1}{(x+\sqrt{c})}^{2n}{(x^2+c)}^{2n}$の$x^k$の係数を$a_k$$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$8n+1\text{）}$とする．ここで$n$は自然数，$c$は正の実数とする．このとき，以下の問に答えよ．

(ⅰ)　$c=4$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{8n+1}}{a}_k$はいくらか．

(ⅱ)　$c=2\text{，}$$n=17$のとき，$a_k$が最大となる$k$はいくらか．

【２】　以下の問に答えよ．

(2)　長さ$1\mathrm{km}$の区間を車が定速で走行するものとする．$1$回目の走行では速度$c\mathrm{km}/\mathrm{h}\text{，}$$2$回目の走行では速度$2c\mathrm{km}/\mathrm{h}\text{，}$$3$回目の走行では速度$3c\mathrm{km}/\mathrm{h}$と$c\mathrm{km}/\mathrm{h}$ずつ速度を上げていき，この区間を$2n$回走行する．ここで，$n$は自然数，$c$は正の定数である．$1$回目から$n$回目までの走行にかかる時間の総和を$S_1$(時間)，$n+1$回目から$2n$回目までの走行にかかる時間の総和を$S_2$(時間)，奇数回目の走行にかかる時間の総和を$S_o$(時間)，偶数回目の走行にかかる時間の総和を$S_e$(時間)とする．このとき，以下の問に答えよ．

(ⅰ)　$S_o-S_e$を$S_2$の関数で表せ．

(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(S_o-S_e)=1$となる$c$はいくらか．

【３】　$500$円，$100$円，$50$円の硬貨が$1$枚ずつある．$1$回目の試行で$3$枚の硬貨を投げ，表が出た硬貨をもらうことができる．$2$回目の試行では，残った硬貨を投げ，やはり表が出た硬貨をもらうことができる．$3$回目以降も同様とし，この試行を繰り返し，もらえる金額が$600$円以上になったらこの試行は終了するものとする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$1$回目の試行で終わる確率，$2$回目の試行で終わる確率はそれぞれいくらか．

(2)　$k$回の試行以内で終わる確率を$k$の関数として表せ$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$

(3)　上記の$50$円硬貨を$100$円硬貨に入れ替える．すなわち$500$円硬貨が$1$枚，$100$円硬貨が$2$枚あるときに，上記の試行を行う．このとき，$k$回の試行以内で終わる確率を$k$の関数として表せ．

【４】　以下の問に答えよ．

(1)　座標平面上に$1$辺の長さが$8$の正方形$\mathrm{OABC}$を作る．$\mathrm{O}$は原点，$\mathrm{A}$は$(8,0)\text{，}$$\mathrm{C}$は$(0,8)$とする．ある直線が辺$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$上を通り，$\mathrm{OABC}$の面積を$2$等分するとき，この直線の傾きが取り得る範囲を求めよ．また，この条件を満たす直線が必ず通る点があれば，その座標を求めよ．

(2)　座標平面上に$1$辺の長さが$8$の正三角形$\mathrm{OAB}$を作る．$\mathrm{O}$は原点，$\mathrm{B}$は$(0,8)\text{，}$$\mathrm{A}$は第$1$象限にあるものとする．ある直線が辺$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OB}$上を通り，$\mathrm{▵OAB}$の面積を$2$等分するとき，この直線が$\mathrm{▵OAB}$上に取り得る範囲を図示せよ．