2017　防衛医科大学校　看護学科MathJax

【１】　問１〜５の解答として正しいものを，(1)〜(5)の中からそれぞれ$1$つ選び，解答用紙にマークせよ．

　実数の集合$\mathrm{R}$において，$2$つの演算$⨁$と$⨂$を以下のように定義する．

$x⨁y=x+y+1$

$x⨂y=xy+1$

例えば，$1⨁2=1+2+1=4\text{，}$$2⨂3=2\times 3+1=7$である．この$2$つの記号をまじえた計算では，通常の四則演算と同様に，内側の括弧の中から計算していくものとする．

問１　$(x⨂(x⨁x))-((x⨂x)⨁x)=3$を満たす$x$は$2$つある．この$2$つの組として正しいものはどれか．

$\text{(1)}(-1,1)$$\text{(2)}(-1,2)$$\text{(3)}(1,-2)$$\text{(4)}(2,-2)$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問２　$A=x^2⨂(x+6)\text{，}$$B=x⨂7$とすると，$A-B-60$は$x^3-27+(x-3)(\text{ア}x+11)$と書けるので，$(x-3)(x+\text{イ})(x+\text{ウ})$と因数分解できる．ただし，$\text{イ}<\text{ウ}$とする．このとき，正しい$(\text{ア},\text{イ},\text{ウ})$はどれか．

$\text{(1)}(4,1,20)$$\text{(2)}(6,2,10)$$\text{(3)}(4,-2,10)$$\text{(4)}(6,4,5)$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問３　$C=x⨂(x-2)\text{，}$$D=x⨁4$とすると，$\sqrt{C}-\left|D\right|$は，$x<\text{エ}$において$6\text{，}$$\text{エ}\leqq x<\text{オ}$において$\text{カ}x-4\text{，}$$x\geqq \text{オ}$において$-6$となる．このとき，正しい$(\text{エ},\text{オ},\text{カ})$はどれか．

$\text{(1)}(-5,1,-2)$$\text{(2)}(-1,1,-5)$$\text{(3)}(-1,5,-2)$$\text{(4)}(-5,5,-5)$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問４　$f(x)=\sqrt{C}-\left|D\right|+x$とすると，$f(x)=0$の解はいくつあるか．

$\text{(1)}1\text{個}$$\text{(2)}2\text{個}$$\text{(3)}3\text{個}$$\text{(4)}4\text{個}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問５　$-10\leqq x\leqq 10$における$f(x)$の最大値を$a\text{，}$最小値を$b$としたとき，$a+b$はいくらか．

$\text{(1)}-2$$\text{(2)}-1$$\text{(3)}1$$\text{(4)}2$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【２】問６〜10の解答として正しいものを，(1)〜(5)の中からそれぞれ$1$つ選び，解答用紙にマークせよ．

　座標平面上の放物線$C_1\text{：}y=-x^2+6x-5\text{，}$$C_1$を$x$軸方向に$p$だけ，$y$軸方向に$q$だけ平行移動した放物線を$C_2$とする．

問６　$C_1$の頂点の座標はいくらか．

$\text{(1)}(-3,4)$$\text{(2)}(2,3)$$\text{(3)}(3,4)$$\text{(4)}(3,5)$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問７　$C_2$が$2$点$(2,5)\text{，}$$(4,-7)$を通るとき，$(p,q)$はいくらか．

$\text{(1)}(-3,5)$$\text{(2)}(-2,5)$$\text{(3)}(2,5)$$\text{(4)}(3,5)$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問８　このとき，$C_1$と$C_2$の頂点間の距離はいくらか．

$\text{(1)}\sqrt{33}$$\text{(2)}\sqrt{34}$$\text{(3)}\sqrt{35}$$\text{(4)}6$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問９　このとき，$C_2$と$x$軸で囲まれた領域に長方形$\mathrm{ABCD}$を作る．点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$x$軸上にあり，$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$は$C_2$上にある．この長方形$\mathrm{ABCD}$の周囲の長さが最大になるときの周囲長はいくらか．

$\text{(1)}16$$\text{(2)}20$$\text{(3)}24$$\text{(4)}28$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問10　問９で求めた，周囲の長さが最大となる長方形$\mathrm{ABCD}$の面積はいくらか．

$\text{(1)}8$$\text{(2)}12$$\text{(3)}16$$\text{(4)}20$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【３】問11〜15の解答として正しいものを，(1)〜(5)の中からそれぞれ$1$つ選び，解答用紙にマークせよ．

　座標平面上の原点$(0,0)$に玉を置き，以下のルールで玉を移動させる．

［1］サイコロを振り，出目が$1$か$2$か$3$のときは$x$軸方向に$+1\text{，}$$4$か$5$か$6$のときは$x$軸方向に$-1$だけ玉を移動させるものとする．このとき，以下の問に答えよ．

問11　サイコロを$4$回振った後，玉が点$(4,0)$にある確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{16}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{1}{32}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{1}{64}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問12　サイコロを$4$回振った後，玉が原点$(0,0)$にある確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

［2］サイコロを振り，出目が$1$か$2$のときは$x$軸方向に$+1\text{，}$$3$か$4$のときは$x$軸方向に$-1$だけ玉を移動させるものとする．また，出目が$5$のときは$y$軸方向に$+1\text{，}$$6$のときは$y$軸方向に$-1$だけ玉を移動させるものとする．このとき，以下の問に答えよ．

問13　サイコロを$4$回振った後，玉が原点$(0,0)$にある確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{11}{72}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{13}{72}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{11}{36}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{13}{36}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

［3］サイコロを振り，出目が$1$か$2$のときは$x$軸方向に$+1\text{，}$$3$か$4$のときは$x$軸方向に$-1$だけ玉を移動させるものとする．また，出目が$5$のときは$x$軸方向と$y$軸方向に$+1$ずつ，$6$のときは$y$軸方向に$-1$だけ玉を移動させるものとする．このとき，以下の問に答えよ．

問14　サイコロを$4$回振った後，玉が原点$(0,0)$にある確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{2}{27}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{4}{27}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{5}{27}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{7}{27}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問15　サイコロを$5$回振った後，玉が原点$(0,0)$にある確率はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{27}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{4}{81}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{5}{81}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{2}{27}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

【４】　問16〜20の解答として正しいものを，(1)〜(5)の中からそれぞれ$1$つ選び，解答用紙にマークせよ．

　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{CD}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=30\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ADC}=45\mathrm{°}$をみたす．このとき，以下の問に答えよ．

問16　$\mathrm{AD}$はいくらか．

$\text{(1)}\sqrt{2}-1$$\text{(2)}\sqrt{3}-1$$\text{(3)}\sqrt{2}+1$$\text{(4)}\sqrt{3}+1$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問17　$\mathrm{AC}$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(2)}1$$\text{(3)}\sqrt{2}$$\text{(4)}2$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問18　$\mathrm{\angle CAD}$はいくらか．

$\text{(1)}15\mathrm{°}$$\text{(2)}30\mathrm{°}$$\text{(3)}45\mathrm{°}$$\text{(4)}60\mathrm{°}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問19　$\cos 15\mathrm{°}$はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{5}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{5}}$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．

問20　$\mathrm{▵ABC}$の面積はいくらか．

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{4}}$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{3}}$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$$\text{(4)}\sqrt{3}-1$

$\text{(5)}$　上の$4$つの答はどれも正しくない．