2017　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　ある高校の生徒$12$名の身長を測定したところ，右のようなデータが得られた．

　これらのデータの箱ひげ図として最も妥当なのはどれか．

　ただし，第$1$四分位数は，これらのデータを小さい方から順に並び替えたときの$1$番目から$6$番目までの$6$個のデータの中央値とし，第$3$四分位数は，これらのデータを小さい方から順に並び替えたときの$7$番目から$12$番目までの$6$個のデータの中央値とする．

　また，箱ひげ図の中の$+$は，これらのデータ全体の平均値を表すものとする．

$\text{1．}$

$\text{2．}$

$\text{3．}$

$\text{4．}$

$\text{5．}$

【２】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=15\text{，}$$\mathrm{AC}=10\text{，}$$\mathrm{AD}=6$のとき，$\mathrm{\angle BAC}$の大きさはいくらか．

$\text{1．}60\mathrm{°}$$\text{2．}90\mathrm{°}$$\text{3．}120\mathrm{°}$$\text{4．}135\mathrm{°}$$\text{5．}150\mathrm{°}$

【３】　$m$を実数の定数とする．不等式$x^2-mx+4m+1>0$が全ての正の実数$x$に対して成り立つような$m$の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}m<-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{2．}0\leqq m<8+2\sqrt{17}$$\text{3．}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq m<8+2\sqrt{17}$$\text{4．}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq m\leqq 8+2\sqrt{17}$$\text{5．}m\geqq 8+2\sqrt{17}$

【４】　以下の文章の空欄に当てはまる記述として正しいのは次のうちではどれか．

「いま，平面上に線分$\mathrm{CD}$が与えられているとして，線分$\mathrm{CD}$を一辺とする正五角形$\mathrm{ABCDE}$を，定規とコンパスのみを用いて作図することを考える．

　一辺の長さが$1$である正五角形の対角線の長さは${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$なので，線分$\mathrm{CD}$の${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$倍の長さをもつ線分を作図することができれば，正五角形を作図することができる．

　そこで，まず点$\mathrm{C}$を通り線分$\mathrm{CD}$に垂直な直線を引き，この直線上に，$\mathrm{CD}=\mathrm{CF}$となる点$\mathrm{F}$を一つとる．次に，線分$\mathrm{CF}$を直径とする円を描き，$$を$\mathrm{G}$とする．

　そして，

・点$\mathrm{C}$を中心として半径が線分$\mathrm{DG}$の長さと等しい円と，点$\mathrm{D}$を中心として半径が線分$\mathrm{DG}$の長さと等しい円との交点を$\mathrm{A}$とし，

・点$\mathrm{A}$を中心として半径が線分$\mathrm{CD}$の長さと等しい円と，点$\mathrm{C}$を中心として半径が線分$\mathrm{CD}$の長さと等しい円との交点のうち，点$\mathrm{D}$から最も遠い点を$\mathrm{B}$とし，

・点$\mathrm{A}$を中心として半径が線分$\mathrm{CD}$の長さと等しい円と，点$\mathrm{D}$を中心として半径が線分$\mathrm{CD}$の長さと等しい円との交点のうち，点$\mathrm{C}$から最も遠い点を$\mathrm{E}$

とすれば，これらを結んでできる五角形$\mathrm{ABCDE}$が，求める正五角形となる．」

$\text{1．}$点$\mathrm{D}$から円に向かって引いた接線と円との接点

$\text{2．}$点$\mathrm{D}$から円に向かって引いた接線と直線$\mathrm{CF}$との交点

$\text{3．}$点$\mathrm{D}$と円の中心を結んだ直線と円との交点のうち，点$\mathrm{D}$から最も近い点

$\text{4．}$点$\mathrm{D}$と円の中心を結んだ直線と円との交点のうち，点$\mathrm{D}$から最も遠い点

$\text{5．}$点$\mathrm{D}$と線分$\mathrm{CF}$を$2:1$に内分する点を結んだ直線と円との交点のうち，点$\mathrm{D}$から最も遠い点

【５】　赤球$\mathrm{5}$個と白球$4$個の合計$9$個の球が袋の中に入っている．この袋の中から無作為かつ同時に$4$個の球を取り除いたとき，袋の中に残った白球の個数が，袋の中に残った赤球の個数よりも多くなる確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{20}{63}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{22}{63}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{5}{14}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{3}{7}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{67}{126}}$

【６】　$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{A\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{I\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{D\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{A\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{I\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{K\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{I\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{D\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{A\; <mspace\; width=".2em"></mspace><mtext>，</mtext>}$$\mathrm{I}$の$11$文字を$1$列に並べる並べ方のうち，どの子音$\text{（}\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{D}\text{）}$も隣り合わない並べ方は全部でいくつか．

$\text{1．}2940\text{通り}$$\text{2．}4900\text{通り}$$\text{3．}7350\text{通り}$$\text{4．}10470\text{通り}$$\text{5．}14700\text{通り}$

【７】　方程式$3x^2+2xy+y^2=11$を満たす整数$(x,y)$の組は全部でいくつあるか．

$\text{1．}1\text{組}$$\text{2．}2\text{組}$$\text{3．}4\text{組}$$\text{4．}6\text{組}$$\text{5．}8\text{組}$

【８】　$\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1}}+3(\sqrt[3]{2}+1)}$に最も近い整数はいくらか．

$\text{1．}2$$\text{2．}3$$\text{3．}4$$\text{4．}5$$\text{5．}6$

【９】　$0<x<\pi$とする．不等式$\sin x+\cos 2x-\sin 3x<0$を満たす$x$の範囲として正しいのはどれか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}<x<{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}<x<{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}<x<{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$\text{5．}0<x<\pi$

【10】　半径$3\sqrt{2}\text{，}$高さ$3$の直円すいに内接する直円柱の体積の最大値はいくらか．ただし，直円柱の底面の一方は直円すいの底面に接するものとする．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\pi$$\text{2．}{\displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{3}}\pi$$\text{3．}4\pi$$\text{4．}8\pi$$\text{5．}12\pi$

【11】　関数$f(x)$が等式$f(x)=2x-1+{\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)\mathit{dx}$を満たしているとき，${\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)\mathit{dx}$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{3．}1$$\text{4．}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{5．}-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

【12】　$1$以上$200$以下で，$4$で割ると$3$余り，$6$で割ると$5$余る整数の和はいくらか．

$\text{1．}1604$$\text{2．}1616$$\text{3．}1628$$\text{4．}1632$$\text{5．}1640$

$$

【13】　平行六面体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$において，辺$\mathrm{FG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を通る平面との交点を$\mathrm{X}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AX}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表したものとして正しいのはどれか．

$\text{1．}\overrightarrow{\mathrm{AX}}={\displaystyle \frac{4}{11}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+{\displaystyle \frac{4}{11}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$\text{2．}\overrightarrow{\mathrm{AX}}={\displaystyle \frac{4}{11}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{4}{11}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+{\displaystyle \frac{3}{11}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$\text{3．}\overrightarrow{\mathrm{AX}}={\displaystyle \frac{1}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$\text{4．}\overrightarrow{\mathrm{AX}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$$\text{5．}\overrightarrow{\mathrm{AX}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{3}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+{\displaystyle \frac{1}{7}}\overrightarrow{\mathrm{AE}}$