2017　気象大学校　記述式問題MathJax

2017　気象大学校　記述式問題

易□　並□　難□

【１】　数列 ${a_{n}}$ を

$a_{1} = 2 ，$ $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + 1}{a_{n} + 2}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定める．以下の設問に答えよ．

(1)　 $a_{2} ，$ $a_{3}$ の値を求めよ．

(2)　 $α ，$ $β$ は $α < β$ を満たす実数の定数とし，数列 ${b_{n}}$ を

$b_{n} = \frac{a_{n} + α}{a_{n} + β}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定める． ${b_{n}}$ が等比数列となるときの $α ，$ $β$ の値を求め，そのときの ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

2017　気象大学校　記述式問題

易□　並□　難□

【２】　平面上の三角形 $OAB$ において， $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく．三角形 $OAB$ の内部に点 $P$ をとり，実数 $λ ，$ $μ$ を用いて

$\vec{OP} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$

と表す．以下の設問に答えよ．

(1)　点 $P$ が三角形 $OAB$ の内部（辺は含まない）に存在するための条件を $λ ，$ $μ$ を用いて表せ．

(2)　点 $P$ から直線 $OA ，$ $OB$ に下ろした垂線の足をそれぞれ点 $J ，$ $K$ とする． $\vec{OJ} ，$ $\vec{OK}$ を $λ ，$ $μ ，$ $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ を用いて表せ．

(3)　線分 $JP ，$ $KP$ の長さを $λ ，$ $μ ，$ $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ を用いて表せ．

(4)　三角形 $OAP ，$ $OBP ，$ $ABP$ の面積の比を $λ ，$ $μ$ を用いて表せ．

(5)　点 $P$ から直線 $AB$ に下ろした垂線の足を点 $L$ とする．線分 $LP$ の長さを $λ ，$ $μ ，$ $\vec{a} ，$ $\vec{b}$ を用いて表せ．

(6)　線分 $JP ，$ $KP ，$ $LP$ の長さが等しいとき， $λ ，$ $μ$ の値を求めよ．

2017　気象大学校　記述式問題

易□　並□　難□

【３】　実数全体で定義された関数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 4}$ について，以下の設問に答えよ．

(1)　 $| f^{'} (x) |$ の最大値を求めよ．

(2)　全ての実数 $x ，$ $y$ に対して， $| f (x) - f (y) | ≦ \frac{1}{8} | x - y |$ が成り立つことを示せ．

(3)　関数 $F (x)$ を $F (x) = x - f (x)$ と定める． $F (c) = 0$ を満たす実数 $c$ が存在することを示せ．

(4)　正の整数 $n$ に対して，関数 $f^{n} (x)$ を

$f^{1} (x) = f (x) ，$ $f^{n + 1} (x) = f (f^{n} (x))$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

と定める．このとき，全ての実数 $x$ に対して，

$\lim_{n \to \infty} f^{n} (x) = c$

が成り立つことを示せ．

　ただし， $c$ は $F (c) = 0$ を満たす実数とする．