2017　職業能力開発総合大学校　一般MathJax

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　次の連立不等式の解は，$\text{(イ)}<x<\text{(ロ)}$である．

$\{\begin{array}{l}|2x+1|<x+2\\ -2x+1>0\end{array}$

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2)　方程式$3{\log }_{10}2-2{\log }_{10}x=-1$の解は，$x=\text{(ハ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(3)　方程式$(2^x+2^{-x})(2^x+2^{-x+1})=6$の解は，$x=\text{(ニ)}\text{，}$$\text{(ホ)}$である．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(4)　関数$f(x)=-2{(\cos x)}^2+2\sin x+1$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$は，$x=\text{(ヘ)}\pi$で最小値$\text{(ト)}\text{，}$$x=\text{(チ)}\pi$で最大値$\text{(リ)}$をとる．

【１】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(5)　${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{2}}\right)}^{2017}$の実部は$\text{(ヌ)}$であり，虚部は$\text{(ル)}$である．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(1)　関数$f(x)=x^3-3x-2$は，$x=\text{(イ)}$で極大値$\text{(ロ)}$を取り，$x=\text{(ハ)}$で極小値$\text{(ニ)}$をとる．曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$\text{(ホ)}$である．

【２】　次の各問の空欄に適当な数値を記入しなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{A}$$(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(3,1,-2)$に対して，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\text{(ヘ)}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\text{(ト)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{(チ)}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=\text{(リ)}\pi$となる．さらに，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\text{(ヌ)}$となる．そして，$\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\text{(ル)}$より，$\mathrm{A}$から$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると$\left|\overrightarrow{\mathrm{AH}}\right|=\text{(ヲ)}$となる．

【３】　次の各問に答えなさい．

(1)　立方体の各面に$1$から$6$の数字が$1$つずつ印刷された$6$面のサイコロがある．このサイコロを$4$回振ったとき，$4$以上の目が出る回数が$1$回以上である確率を求めなさい．ただし，このサイコロを$1$回振ったとき，$1$から$6$のそれぞれの目が出る確率は$1/6$とする．

【３】　次の各問に答えなさい．

図１

(2)　図１のように，$3$つの町$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が，道路$1\text{，}$$2\text{，}$$3$で結ばれている．町$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は道路$1$で結ばれ，町$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{C}$は道路$2$で結ばれ，町$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は道路$3$で結ばれている．ある日に，道路$1$で$1$日中通行止めが発生する確率は$p$$\text{（}0\leqq p\leqq 1\text{）}$である．また，その日に，道路$2$で$1$日中通行止めが発生する確率も$p$であり，道路$3$で$1$日中通行止めが発生する確率も$p$である．この日に，いずれの町も他の町との間で行き来ができる確率を求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．

(解答)

図１

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{|x-1|\times |x-3|\times {(x-2)}^2}{(x-1)(x-3)}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$のグラフを解答の図１に描きなさい．ただし，縦軸の目盛も記入すること．

【４】　次の各問に答えなさい．

図２

(2)　図２に示すように，中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$1$の定円$C_1$上を点$\mathrm{A}$が動く．時刻$t$において，$x$軸方向から$\mathrm{OA}$へ測った角度は$t{\omega }_1$である．いっぽう，中心が点$\mathrm{A}$で半径が$r$の円$C_2$上を点$\mathrm{P}$が動く．時刻$t$において，$x$軸方向から$\mathrm{AP}$へ測った角度は$\alpha +t{\omega }_2$である．ただし，$r>0$であり，角度の単位はラジアンとする．

(2-1)　時刻$t$における点$\mathrm{P}$の座標を$(x(t),y(t))$として，線分$\mathrm{OP}$の長さを$L(t)$とする．このとき，時刻$t$の関数$x(t)\text{，}$$y(t)\text{，}$および$L(t)$を求めなさい．

(2-2)　線分$\mathrm{OP}$の長さ$L(t)$が時刻によらず一定となるための条件を求めなさい．