2017　防衛大学校　前期MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{5}}}-{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{5}}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}\sqrt{5}-\sqrt{2}$$\text{ⓑ}\sqrt{5}+\sqrt{2}$$\text{ⓒ}\sqrt{10}-\sqrt{2}$$\text{ⓓ}\sqrt{10}+\sqrt{2}$$\text{ⓔ}\sqrt{10}-\sqrt{5}$$\text{ⓕ}\sqrt{10}+\sqrt{5}$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(2)　整式$x^{2017}$を整式$x^2+x$で割ったときの余りは次のどれか．

$\text{ⓐ}-1$$\text{ⓑ}1$$\text{ⓒ}-x$$\text{ⓓ}x$$\text{ⓔ}-x+1$$\text{ⓕ}x-1$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(3)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}t|t-x|\mathit{dt}$について，$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$における微分係数は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓑ}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓓ}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{ⓕ}-{\displaystyle \frac{1}{8}}$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(4)　$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,0,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2,1)$から等距離にある$yz$平面上の点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{▵APB}$の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}\sqrt{11}$$\text{ⓑ}2\sqrt{11}$$\text{ⓒ}4\sqrt{3}$$\text{ⓓ}11$$\text{ⓔ}8\sqrt{3}$$\text{ⓕ}22$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【１】　次の問に答えよ．

(5)　関数$y=x^2\cos 3x$の導関数は次のどれか．

$\text{ⓐ}3x\cos 3x-2x^2\sin 3x$$\text{ⓑ}-2x\cos 3x$$\text{ⓒ}-3x^2\sin 3x$$\text{ⓓ}2x\cos 3x-3x^2\sin 3x$$\text{ⓔ}3x^2\cos 3x-2x\sin 3x$$\text{ⓕ}2x\cos 3x-3x^2\cos 2x$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【２】　$N=2^{100}$について，次の問に答えよ．ただし，

${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771\text{，}$${\log }_{10}7=0.8451\text{，}$${\log }_{10}11=1.0414\text{，}$${\log }_{10}13=1.1139$

とする．

(1)　$N$の桁数は次のどれか．

$\text{ⓐ}28$$\text{ⓑ}29$$\text{ⓒ}30$$\text{ⓓ}31$$\text{ⓔ}32$$\text{ⓕ}33$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(2)　$N$の最高位の数字は次のどれか．

$\text{ⓐ}1$$\text{ⓑ}2$$\text{ⓒ}3$$\text{ⓓ}4$$\text{ⓔ}5$$\text{ⓕ}7$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(3)　$N$の最高位から$1$つ下の位の数字は次のどれか．

$\text{ⓐ}1$$\text{ⓑ}2$$\text{ⓒ}3$$\text{ⓓ}4$$\text{ⓔ}5$$\text{ⓕ}6$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【３】　$\mathrm{▵ABC}$と点$\mathrm{P}$に対し，$6\overrightarrow{\mathrm{PA}}+14\overrightarrow{\mathrm{PB}}+15\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$が成り立つとする．また，$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$を通る直線と辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　長さの比$\mathrm{AD}:\mathrm{CD}$は次のどれか．

$\text{ⓐ}3:1$$\text{ⓑ}4:1$$\text{ⓒ}5:2$$\text{ⓓ}7:2$$\text{ⓔ}7:3$$\text{ⓕ}8:3$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(2)　長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PD}$は次のどれか．

$\text{ⓐ}3:1$$\text{ⓑ}3:2$$\text{ⓒ}5:2$$\text{ⓓ}5:3$$\text{ⓔ}7:2$$\text{ⓕ}7:3$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(3)　面積の比$\mathrm{▵ABC}:\mathrm{▵ADP}$は次のどれか．

$\text{ⓐ}4:1$$\text{ⓑ}5:2$$\text{ⓒ}7:2$$\text{ⓓ}8:3$$\text{ⓔ}9:4$$\text{ⓕ}10:3$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【４】　$1$から順に奇数を並べておいて，下のように，$1$個，$2^1$個，$2^2$個，$2^3$個，$\cdots$と区画に分ける．

$1|3,5$$|7,9,11,13$$|15,17,19,21,23,25,27,29$$|31\text{,}\cdots$

このとき，次の問に答えよ．

(1)　第$n$番目の区画の最初の数は次のどれか．

$\text{ⓐ}2n-1$$\text{ⓑ}2n+1$$\text{ⓒ}{2}^n-1$$\text{ⓓ}{2}^n+1$$\text{ⓔ}{2}^{n+1}-1$$\text{ⓕ}{2}^{n+1}+1$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(2)　第$n$番目の区画に入る数の和は次のどれか．

$\text{ⓐ}3\cdot 2^{2n-2}-2^n$$\text{ⓑ}3\cdot 2^{2n-1}-2^{n+1}-1$$\text{ⓒ}3\cdot 2^{2n}-2^{n+2}-3$$\text{ⓓ}3\cdot 2^{2n-2}-5\cdot 2^{n-2}$$\text{ⓔ}3\cdot 2^{2n-1}-5\cdot 2^{n-1}$$\text{ⓕ}3\cdot 2^{2n}-5\cdot 2^n-1$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(3)　$2017$が第$n$番目の区画の第$m$番目の数となるとき，$n\text{，}$$m$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}n=9\text{，}m=128$$\text{ⓑ}n=9\text{，}m=204$$\text{ⓒ}n=9\text{，}m=235$$\text{ⓓ}n=10\text{，}m=153$$\text{ⓔ}n=10\text{，}m=498$$\text{ⓕ}n=10\text{，}m=510$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$は$x=a$において最大値をとるものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓑ}-1$$\text{ⓒ}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓔ}1$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(2)　$m<0$とする．点$(a,f(a))$を通り，傾き$m$の直線が曲線$y=f(x)$の接線であるとき，$m$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{4}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2}}{2}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{4}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}}$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$

(3)　$m$を(2)で求めた値とし，$m<k<0$とする．点$(a,f(a))$を通り，傾きが$k$の直線を$l$とする．直線$l$と曲線$y=f(x)$の点$(a,f(a))$以外の共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．このとき，極限$\underset{k\to -0}{\lim }(\beta +{\displaystyle \frac{1}{2k}})$は次のどれか．

$\text{ⓐ}-\infty$$\text{ⓑ}-2$$\text{ⓒ}-1$$\text{ⓓ}0$$\text{ⓔ}1$$\text{ⓕ}2$$\text{ⓖ}\text{以上のどれでもない．}$