2017　航空保安大学校　学科問題MathJax

【１】　$x=3-\sqrt{5}$のとき，$2x^3-9x^2-8x+6$の値はいくらか．

$\text{1．}-2\sqrt{5}$$\text{2．}-\sqrt{5}$$\text{3．}0$$\text{4．}\sqrt{5}$$\text{5．}2\sqrt{5}$

【２】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}$の対辺の長さを$a\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}$の対辺の長さを$b\text{，}$$\mathrm{\angle BCA}$の対辺の長さを$c$とする．関係式${\displaystyle \frac{c}{a+b}}+{\displaystyle \frac{b}{c+a}}=1$が成り立つとき，$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

【３】　次の記述の$$に当てはまるものとして正しいのはどれか．

「実数$x\text{，}$$y$が条件式$2x^2-x+y^2=0$を満たすときの，$2x-y$の最大値を求める．

　$2x-y=k$とおくと，$y=2x-k$なので，これを条件式に代入すると$x$についての$2$次方程式が得られる．$k$のとり得る値の範囲は，この$x$についての$2$次方程式が解をもつような$k$の値の範囲であるから，$2x-y$の最大値は$$であることが分かる．」

$\text{1．}{\displaystyle \frac{2-\sqrt{6}}{4}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}}{4}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}}{4}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{4}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{6}}{4}}$

【４】　$1$以上$200$以下の整数で，$200$と互いに素（最大公約数が$1\text{）}$であるものは全部でいくつあるか．

$\text{1．}40\text{個}$$\text{2．}60\text{個}$$\text{3．}80\text{個}$$\text{4．}100\text{個}$$\text{5．}120\text{個}$

【５】　$1$から$6$までの目があるサイコロを$6$回投げて，$3$以上の目が$3$回以上出る確率はいくらか．

　ただし，サイコロのそれぞれの目の出る確率は全て${\displaystyle \frac{1}{6}}$とする．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{8}{81}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{5}{9}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{59}{81}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{656}{729}}$

【６】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=8\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{AC}=6$であり，$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}$の外角の二等分線と辺$\mathrm{BC}$を延長した直線との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{PQ}$の長さはいくらか．

$\text{1．}20$$\text{2．}21$$\text{3．}22$$\text{4．}23$$\text{5．}24$

【７】　$xy$座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}$$(-2,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,0)$からの距離の比が$3:2$となる点全体が描く図形として正しいのはどれか．

$\text{1．}$中心$(7,0)\text{，}$半径6の円

$\text{2．}$中心$(7,0)\text{，}$半径$7$の円

$\text{3．}$中心$(-7,0)\text{，}$半径$6$の円

$\text{4．}$中心$(-7,0)\text{，}$半径$7$の円

$\text{5．}$線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に内分する点を通る，$x$軸の垂線

【８】　${\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$${\log }_{8}3\text{，}$${\log }_{27}10$の大小関係として正しいのはどれか．

$\text{1．}{\log }_{27}10<{\log }_{8}3<{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{2．}{\log }_{27}10<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\log }_{8}3$$\text{3．}{\log }_{8}3<{\log }_{27}10<{\displaystyle \frac{2}{3}}$$\text{4．}{\log }_{8}3<{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\log }_{27}10$$\text{5．}{\displaystyle \frac{2}{3}}<{\log }_{8}3<{\log }_{27}10$

【９】　$0\leqq x<2\pi$とする．$y=\sin x+3\sqrt{2}\cos (x-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+1$の最小値はいくらか．

$\text{1．}-5$$\text{2．}-3\sqrt{2}$$\text{3．}-4$$\text{4．}-2\sqrt{2}$$\text{5．}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt{2}$

【10】　実数$x$についての関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx-1$$\text{（}a\text{，}$$b$は定数）が与えられている．曲線$y=f(x)$が点$(1,a+b)$において接線$y=-8x+1$をもつことが分かっているとき，$f(x)$の極小値はいくらか．

$\text{1．}-17$$\text{2．}-18$$\text{3．}-19$$\text{4．}-20$$\text{5．}-21$

【11】　$x$を実数とする．曲線$y=2x^3-x^2-x$と$x$軸で囲まれた二つの図形の面積の和はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{17}{48}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{3}{8}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{37}{96}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{19}{48}}$

【12】　$n$を正の整数，$r$を$1$でない実数とする．

$2+4r+6r^2+\cdots +2n{r}^{n-1}$

と等しいのはどれか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{2\{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}\}}{1-r}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2\{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}\}}{{(1-r)}^2}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{2n\{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}\}}{1-r}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{2n\{1-n{r}^{n-1}+(n-1)r^n\}}{{(1-r)}^2}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{2n\{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}\}}{{(1-r)}^2}}$

【13】　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表したものとして正しいのはどれか．

$\text{1．}\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{4}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{2．}\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{3．}\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{4．}\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$\text{5．}\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{5}{9}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$