2018　北海道大学　後期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．

(1)　次の等式を示せ．

$(a-b)(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}{b}^2+\cdots +a{b}^{n-1}+b^n)=a^{n+1}-b^{n+1}$

(2)　$w={\displaystyle \frac{{10}^{n(n+1)}-2^{n+1}}{{10}^n-2}}$とおく．$w$は整数であることを示せ．また，$w$を${10}^n$で割った余りは$2^n$であることを示せ．

(3)　実数$x$に対し，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．$\left[{\displaystyle \frac{{10}^{n(n+1)}}{{10}^n-2}}\right]$を${10}^{\mathrm{.n}}$で割った余りを求めよ．

【２】　$z$を虚部が正である複素数とし，$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{P}(2)\text{，}\mathrm{Q}(2z)$を複素数平面上の$3$点とする．$▵\mathrm{OPR}\text{，}▵\mathrm{PQS}\text{，}▵\mathrm{QOT}$は$▵\mathrm{OPQ}$の内部と重ならない正三角形とし，$3$点$\mathrm{U}\text{，}\mathrm{V}\text{，}\mathrm{W}$をそれぞれ$▵\mathrm{OPR}\text{，}▵\mathrm{PQS}\text{，}▵\mathrm{QOT}$の重心とする．

(1)　$3$点$\mathrm{U}\text{，}\mathrm{V}\text{，}\mathrm{W}$が表す複素数をそれぞれ$z$で表せ．

(2)　$▵\mathrm{UVW}$は正三角形であることを示せ．

(3)　$z$が$|x-i|={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たしながら動くとき，$▵\mathrm{UVW}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を複素数平面上に図示せよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【３】　十分な数の赤玉と青玉が手元にあるものとする．$a$と$n$を自然数とし，はじめに，空の袋に$a$個の赤玉を入れておく．以下の試行を繰り返す．袋の中から玉を$1$個取り出し，それが赤玉ならば青玉を$1$個袋に入れ，青玉ならば赤玉を$1$個袋に入れる．さらに，取り出した玉自体も袋に戻し，袋の中の玉をよくかき混ぜる．結果として，$1$回の試行ごとに袋の中にある玉は$1$個ずつ増える．この試行を繰り返したとき，$n$回目の試行後に袋に入っている赤玉の個数が$k$である確率を$p_n(k)$で表す．例えば，$p_1(k)$の値は$k$が$a$のとき$1\text{，}$そのほかの場合は$0$である．また，$M_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{a+n}}k{p}_n(k)$とする．

(1)　$p_2(k)$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}(k+1)=B{p}_n(k)+C{p}_n(k+1)$と表すとき，$B$と$C$を$a\text{，}k\text{，}n$で表せ．

(3)　$M_1=a\text{，}{M}_{n+1}={\displaystyle \frac{a+n-1}{a+n}}{M}_n+1$を示せ．

(4)　(3)の式を満たす数列$\{M_n\}$の一般項を求めよ．さらに，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{M_n}{n}}$を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x+e^{-x})$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．また，$s>1$とし，$0\leqq x\leqq \log s$の範囲における$C$の長さを$L(s)$とする．ただし，$\log s$は$s$の自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)　$L(s)$を$s$で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$を$x$座標が$\log s$であるような$C$上の点とし，この点での$C$の接線を$l$とする．$\mathrm{Q}(v,w)$を$v<\log s$かつ$\mathrm{PQ}=L(s)$を満たす$l$上の点とするとき，$v$と$w$を$s$で表せ．

(3)　(2)において，$s$が$1$より大きい実数を動くとき，点$\mathrm{R}(-v+\log s,w)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．