2018　室蘭工業大学　前期

【１】　$a$を定数とする．関数$f(x)\text{，}g(x)$をそれぞれ

$f(x)=x^3+(2a-1)x^2-x-a\text{，}g(x)=x^2+(a+1)x-3$

と定める．また，関数$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{a}{3}}$で極値をとり，$f(a)=g(a)$とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【２】　正の実数$x$に対し，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$

と定める．また，曲線$y=f(x)$の変曲点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$l$の方程式を求めよ．

(3)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　複素数$z$を$z=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とおく．ただし，$i$は虚数単位とする．また，自然数$n$に対し，$z^{n+2}$は$1$の$4$乗根，$z^{n+1}$は$1$の$3$乗根であるとする．

(1)　$f(x)=x^2+x+1$とおく．このとき$f(z^4)$の値を求めよ．

(2)　$n+5$を$12$で割った余り$r$を求めよ．

(3)　$z^{n+11}$の偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{(n+1)a_n}{n+3^n{a}_n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{n}{a_n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　$▵\mathrm{OAB}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=2$および$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=2$を満たすとする．$t$を${\displaystyle \frac{1}{2}}<t<1$を満たす実数とし，辺$\mathrm{AB}$を$1-t:t$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$とする．このとき，$t$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$▵\mathrm{OCD}$の面積$S$を求めよ．