2018　弘前大学　前期MathJax

【１】　右の図のような$1$辺の長さが$1$の正方形の折り紙$\mathrm{ABCD}$があり，頂点$\mathrm{D}$が辺$\mathrm{AB}$上にくるように折る．このとき，頂点$\mathrm{D}\text{，}$頂点$\mathrm{C}$の動いた先の点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，線分$\mathrm{EF}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{G}$とする．また，辺$\mathrm{BC}$と折り目の交点を$\mathrm{H}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$と折り目の交点を$\mathrm{I}$とする．

　$\cos \angle \mathrm{BGE}={\displaystyle \frac{4}{5}}$であるとき，次を求めよ．

(1)　線分$\mathrm{EI}$の長さ

(2)　$\cos \angle \mathrm{HEI}$の値

(3)　$▵\mathrm{EHI}$の内心を$\mathrm{O}$としたときの${\cos }^2\angle \mathrm{HOI}$の値

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次の条件によって定める．

$a_1=1\text{，}{b}_1=1\text{，}$

$\{\begin{array}{l}{a}_{n+1}=5a_n+6b_n\\ b_{n+1}=4a_n+5b_n\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての自然数$n$について，

${(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2n-1}=a_n\sqrt{2}+b_n\sqrt{3}$

となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　$c_n=a_n\sqrt{2}-b_n\sqrt{3}$とおく．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を，それぞれ求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=|x^2-8x+7|+x-7$

と定める．

(1)　$0\leqq x\leqq 7$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)-ax=0$が異なる$4$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

(3)　関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

と定めるとき，$0\leqq x\leqq 7$における$g(x)$の最小値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=\sin x+\tan x-2x$の導関数を求めよ．さらに，$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において$f(x)>0$となることを示せ．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{(e^{2x}+a)(e^{-2x}+a)}}dx$（$a$は正の定数）

【５】　$a$を正の実数とする．座標平面上に$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2+4ax+a^2$

$C_2\text{：}y=-x^2+4ax-a^2$

がある．$C_1\text{，}{C}_2$の両方に接する$2$つの直線のうち傾きが大きいものを$l_1\text{，}$傾きが小さいものを$l_2$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l_1\text{，}{l}_2$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が正の実数全体を動くとき，$2$直線$l_1$と$l_2$のなす角$\theta$の最大値を求めよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【６】　複素数平面上で$3$つの複素数

$0\text{，}1+\sqrt{3}i\text{，}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}}i$

が表す点をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{OAB}$において$\angle \mathrm{AOB}$の大きさ，および辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$の長さを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{OAB}$の外接円の中心を表す複素数を求めよ．

【７】　$a$を正の実数とする．$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x^2$と$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{a}{x+a}}$がちょうど$2$つの共有点をもっているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【８】　半径$1$の球に内接する正三角$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$の体積の最大値を求めよ．ただし，正三角錐とは底面が正三角形で，側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐のことである．

【９】　整数$l\text{，}m\text{，}n$は次の条件を満たすとする．

${\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\text{，}l\geqq 5\text{，}m\geqq 5\text{，}n\geqq 1$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　整数と$l$と$m$の少なくとも一方は$5$であることを示せ．

(2)　条件を満たす整数の組$(l,m,n)$をすべて求めよ．