2018　東北大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面における$2$つの放物線$C\text{：}y={(x-a)}^2+b\text{，}$$D\text{：}y=-x^2$を考える．

(1)　$C$と$D$が$2$点で交わり，その$2$交点の$x$座標の差が$1$となるように実数$a\text{，}b$が動くとき，$C$の頂点$(a,b)$の軌跡を図示せよ．

(2)　実数$a\text{，}b$が(1)の条件を満たすとき，$C$と$D$の$2$交点を結ぶ直線は，放物線$y=-x^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}$に接することを示せ．

【２】　$n$を$2$以上，$a$を$1$以上の整数とする．箱の中に，$1$から$n$までの番号札がそれぞれ$1$枚ずつ，合計$n$枚入っている．この箱から，$1$枚の札を無作為に取り出して元に戻す，という試行を$a$回繰り返す．ちょうど$a$回目の試行でそれまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめて$n$以上となる確率を$p(a)$とする．

(1)　$p(1)$と$p(n)$を求めよ．

(2)　$p(2)$を求めよ．

(3)　$p(n-1)$を求めよ．

【３】　実数$a$は$0<a<4$を満たすとする．$xy$平面の直線$l\text{：}y=ax$と曲線

$C\text{：}\{\begin{array}{ll}-x^2+4x& \text{（}x<4\text{のとき）}\\ 9a(x-4)& \text{（}x\geqq 4\text{のとき）}\end{array}$

を考える．$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とおく．

(1)　$C$と$l$の交点の座標を求めよ．

(2)　$S(a)$を求めよ．

(3)　$S(a)$の最小値を求めよ．

【４】　空間内に四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$t$を$0$でない実数とし，点$\mathrm{G}$を

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+(t-2)\overrightarrow{\mathrm{GC}}+t\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$

を満たす点とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{DA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{DC}}$で表せ．

(2)　点$\mathrm{G}$は点$\mathrm{N}$と一致しないことを示せ．

(3)　直線$\mathrm{NG}$と直線$\mathrm{MC}$は平行であることを示せ．

【１】　$xy$平面における$2$つの放物線$C\text{：}y={(x-a)}^2+b\text{，}D\text{：}y=-x^2$を考える．

(1)　$C$と$D$が$2$点で交わり，その$2$交点の$x$座標の差が$1$となるように実数$a\text{，}b$が動くとき，$C$の頂点$(a,b)$の軌跡を図示せよ．

(2)　実数$a\text{，}b$が(1)の条件を満たしながら動くとき，$C$と$D$の$2$交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め，図示せよ．

【２】　$n$を$2$以上，$a$を$1$以上の整数とする．箱の中に，$1$から$n$までの番号札がそれぞれ$1$枚ずつ，合計$n$枚入っている．この箱から，$1$枚の札を無作為に取り出して元に戻す，という試行を$a$回繰り返す．ちょうど$a$回目の試行でそれまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめて$n$以上となる確率を$p(a)$とする．

(1)　$p(1)$と$p(n)$を求めよ．

(2)　$p(2)$を求めよ．

(3)　$n$が$3$以上の整数のとき$p(3)$を求めよ．

【３】　整数$a\text{，}b$は等式

$3^a-2^b=1\cdots \text{①}$

を満たしているとする．

(1)　$a\text{，}b$はともに正となることを示せ．

(2)　$b>1$ならば，$a$は偶数であることを示せ．

(3)　$\text{①}$を満たす整数の組$(a,b)$をすべてあげよ．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とし，$h={\displaystyle \frac{r}{R}}$とする．また，$\angle \mathrm{A}=2\alpha \text{，}\angle \mathrm{B}=2\beta \text{，}\angle \mathrm{C}=2\gamma$とおく．

(1)　$h=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$となることを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$が直角三角形のとき$h\leqq \sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．

(3)　一般の三角形$\mathrm{ABC}$に対して$h\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのはどのような場合か．

【５】　$\alpha$を複素数とする．複素数$z$の方程式

$z^2-\alpha z+2i=0\cdots \text{①}$

について，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　方程式$\text{①}$が実数解をもつように$\alpha$が動くとき，点$\alpha$が複素数平面上に描く図形を図示せよ．

(2)　方程式$\text{①}$が絶対値$1$の複素数を解にもつように$\alpha$が動くとする．原点を中心に$\alpha$を${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$回転させた点を表す複素数を$\beta$とするとき，点$\beta$が複素数平面上に描く図形を図示せよ．

【６】　$xy$平面内の図形

$S\text{：}\{\begin{array}{l}x+y^2\leqq 2\\ x+y\geqq 0\\ x-y\leqq 2\end{array}$

を考える．図形$S$を直線$y=-x$のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を$V$とする．

(1)　$S$を$xy$平面に図示せよ．

(2)　$V$を求めよ．

文系・理系の学部・学科別

文系　文学部・教育学部・法学部・経済学部・医学部（保健学科看護学専攻）

理系　理学部・医学部（医学科，保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻）・歯学部・薬学部・工学部・農学部