2018　東北大学　後期MathJax

(1)　$D$の周上の格子点の数$L_m$を$m$で表せ．

(2)　$D$の周上および内部の格子点の数$T_m$を$m$で表せ．

(3)　$T_m-{\displaystyle \frac{m}{3}}{L}_m$の最大値とそのときの$m$の値を求めよ．

(1)　$2<k<3$のとき，$a_2\text{，}{b}_2\text{，}{a}_3\text{，}{b}_3$を求めよ．

(2)　$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

・$1$が出れば上の横の列にある板をすべてひっくり返す．

・$2$が出れば中央の横の列にある板をすべてひっくり返す．

・$3$が出れば下の横の列にある板をすべてひっくり返す．

・$4$が出れば左の縦の列にある板をすべてひっくり返す．

・$5$が出れば中央の縦の列にある板をすべてひっくり返す．

・$6$が出れば右の縦の列にある板をすべてひっくり返す．

$\to$

$\to$

たとえば，さいころを$2$回降って最初に$1\text{，}$次に$4$が出たとき，板は右のようになる．

(1)　さいころを$2$回振ったときに，すべての板が黒になっている確率を求めよ．

(2)　さいころを$3$回振ったときに，すべての板が白になっている確率を求めよ．

(3)　さいころを$3$回振ったときに，右の図のようになっている確率を求めよ．

$a^2+b^2=c^2$

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$のうち少なくとも一つは偶数であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$のうちに素数ではないものがあることを示せ．

(1)　$D$の周上の格子点の数$L_m$を$m$で表せ．

(2)　$D$の周上および内部の格子点の数$T_m$を$m$で表せ．

(3)　$D$の面積を$S_m$とする．$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T_m}{S_m}}$を求めよ．

(1)　$S$の周上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が，この順に反時計回りに並んでいる．$\alpha =\angle \mathrm{POQ}\text{，}\beta =\angle \mathrm{QOR}$とする．ただし，$0<\alpha <\pi \text{，}0<\beta <\pi$である．$▵\mathrm{PQR}$の面積は${\displaystyle \frac{1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta -\sin (\alpha +\beta ))$で与えられることを示せ．

(2)　$S$の周上に$5$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{X}$が，この順に反時計回りに並んでいる．ただし，$\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\angle \mathrm{BOC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}\angle \mathrm{COD}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であり，点$\mathrm{X}$は$\mathrm{D}$と$\mathrm{A}$の間を動くものとする．$▵\mathrm{XAB}$の面積と$▵\mathrm{XCD}$の面積の和の最大値を求めよ．また，そのときの$\angle \mathrm{AOX}$を求めよ．

・$1$が出れば上の横の列にある板をすべてひっくり返す．

・$2$が出れば中央の横の列にある板をすべてひっくり返す．

・$3$が出れば下の横の列にある板をすべてひっくり返す．

・$4$が出れば左の縦の列にある板をすべてひっくり返す．

・$5$が出れば中央の縦の列にある板をすべてひっくり返す．

・$6$が出れば右の縦の列にある板をすべてひっくり返す．

$\to$

$\to$

たとえば，さいころを$2$回降って最初に$1\text{，}$次に$4$が出たとき，板は右のようになる．

(1)　さいころを$2$回振ったときに，すべての板が黒になっている確率を求めよ．

(2)　さいころを$3$回振ったときに，すべての板が白になっている確率を求めよ．

(3)　さいころを$4$回振ったときに，右の図のようになっている確率を求めよ．

$a_n=\{\begin{array}{cc}0& \text{（}n=1\text{のとき）}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{|a_{n-1}+1|}-1& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\\ {a_{n-1}}^2+2a_{n-1}& \text{（}n\text{が奇数で}n\geqq 3\text{のとき）}\end{array}$

(1)　$n$が奇数のとき，$a_n$を求めよ．

(2)　$n$が偶数のとき，$a_n$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

$\overrightarrow{\mathrm{OG}}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}})$

で定まる点を$\mathrm{G}$とする．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{GA}}\right|$および内積$\overrightarrow{\mathrm{GA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{GB}}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$は正四面体$\mathrm{ABCD}$の表面および内部を動くとする．このとき

$L={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{CP}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{DP}}\right|}^2$

の最大値および最小値を求めよ．

$a_n=2^n{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{e}}}x{(\log x)}^{n}dx$

で定める．ただし$e$は自然対数の底であり，無理数であることが知られている．

(1)　不等式${\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}}\leqq a_n\leqq {\displaystyle \frac{e}{2(n+1)}}$を示せ．

(2)　各$n$に対して$a_n=p_{n}e+q_n$となるように有理数$p_n\text{，}{q}_n$をとる．$n\geqq 2$のとき，$p_n$を$p_{n-1}$で，$q_n$を$q_{n-1}$でそれぞれ表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{(-1)}^n{p}_n}{n!}}$を求めよ．