2018　東北大学　AOⅡ期理学部数学系MathJax

(1)　$c$を$a$で表せ．

(2)　極限$\underset{a\to \infty }{\lim }ac$を求めよ．

(1)　複素数$z=x+yi$が$z^2=24+10i$を満たすような実数$x$と$y$を求めよ．

(2)　複素数$z$が$z^2+(3+3i)z+(-6+2i)=0$を満たすとき$z$を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を複素数の定数とし，$a\ne 0$であるとする．このとき$a{z}^2+bz+c=0$を満たす複素数$z$が存在することを示せ．

(1)　不等式$b<{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}^2$を満たす点$\mathrm{A}$$(a,b)$から曲線$C$に$2$本の接線を引いたときの接点を$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．三角形$\mathrm{ABD}$の面積を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$は曲線$C$上の点とし，直線$l$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$から曲線$C$に$2$本の接線を引いたときの接点を$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき三角形$\mathrm{QRS}$の面積の最小値を求めよ．

$a_n={\displaystyle {\int }_{n-1}^n}{\displaystyle \frac{1}{\log (e+x)}}\mathit{dx}$

を考える．ただし$e$は自然対数の底を表す．

$A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(-1)}^{k-1}{a}_k$

とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$m$に対して$A_{2m}<A_{2m+2}$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$0<A_n\leqq a_1$が成り立つことを示せ．

(1)　$1$または$2$と書かれたカードを用いて，それぞれのカードに書かれた数の合計を$6^n$にする組合せは全部で何通りあるかを答えよ．

(2)　$2$または$3$と書かれたカードを用いて，それぞれのカードに書かれた数の合計を$6^n$にする組合せは全部で何通りあるかを答えよ．

(3)　$1$または$2$または$3$と書かれたカードを用いて，それぞれのカードに書かれた数の合計を$6^n$にする組合せは全部で何通りあるかを答えよ．