2018　東北大学　AOⅡ期工学部MathJax

2018-10081-0401

2018　東北大学　AOⅡ期工学部

易□　並□　難□

図１

【１】　図１に示す $1$ 辺の長さが $1$ の正八面体 $OABCDE$ において， $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b} ，$ $\vec{OC} = \vec{c}$ とおく．線分 $AC$ と線分 $BD$ の交点を $G ，$ 線分 $OA$ の中点を $P ，$ 線分 $OB$ を $1 : 2$ に内分する点を $Q$ とし， $3$ 点 $P ，$ $Q ，$ $G$ を通る平面を $α$ とする．このとき，以下の問に答えよ．

問１　 $\vec{OG}$ を $\vec{a} ，$ $\vec{b} ，$ $\vec{c}$ で表せ．

問２　平面 $α$ と辺 $BC$ の交点を $R$ とする． $\vec{OR}$ を $\vec{a} ，$ $\vec{b} ，$ $\vec{c}$ で表せ．

問３　点 $O$ から平面 $α$ に引いた垂線と平面 $α$ の交点を $H$ とする． $\vec{OH}$ を $\vec{a} ，$ $\vec{b} ，$ $\vec{c}$ で表し， $OH$ の長さを求めよ．

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易□　並□　難□

【２】　 $a ，$ $b$ を正の実数とする．すべての実数 $x$ に対して連続な関数 $f (x) ，$ $g (x)$ があり，それぞれ

$f (x) = f (a - x)$	(1)
$g (x) = b - g (a - x)$	(2)

を満たしている．以下の問に答えよ．

問１　次の式が成立することを示せ．

$\int_{0}^{a} f (x) g (x) dx = \frac{b}{2} \int_{0}^{a} f (x) dx$

問２　 $f (x) = | \cos x | \sin x$ とする． $a = π$ とおいたとき， $f (x)$ が式(1)を満たすことを示せ．

問３　 $g (x) = \frac{π}{1 + e^{- x + \frac{π}{2}}}$ とする． $g (x)$ が式(2)を満たすような $a ，$ $b$ の値を求めよ．

問４　次の定積分を求めよ．

$\int_{0}^{π} \frac{π | \cos x | \sin x}{1 + e^{- x + \frac{π}{2}}} dx$