2018　東北大学　AOⅡ期医（医学科），歯学部MathJax

　取り出されたカードに書かれた数字を順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\geqq a_2\geqq a_3\geqq \cdots \geqq a_n$となる確率を求めよ．

(2)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の中に$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$がすべて含まれている確率を求めよ．

(3)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の中に$1$が奇数個含まれている確率を求めよ．

(1)　$\cos \theta$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵BPC}$の面積の最小値を求めよ．

(1)　任意の実数$a\text{，}$$b$に対して，

$f(b)-f(a)\leqq f^{\prime }(a)(b-a)$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　$n$を正の整数とする．$n$個の実数$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$\cdots \text{，}$$b_n$に対して，次の不等式が成り立つことを証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(b_k)\leqq f({\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k)$

$f(\theta )=\cos 2\theta -2a\sin \theta +4\sin \theta -2a-1$

とする．$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，方程式$f(\theta )=0$の異なる解の個数を$a$の値で場合分けして求めよ．

$f(\theta )=\cos 2\theta -2(a-2)\sin \theta -2a-1$

とする．

(1)　$a=0$かつ$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，方程式$f(\theta )=0$を解け．

(2)　$0\leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，方程式$f(\theta )=0$の異なる解の個数を$a$の値で場合分けして求めよ．