2018　福島大学　前期

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の不等式を解きなさい．

$8^x-3\cdot 4^x-2^x+3>0$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$x^2+2y^2=1$のとき$x+4y^2$の最大値と最小値を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　和の絶対値と積の絶対値が等しくなる$2$つの整数の組をすべて求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　不定積分${\displaystyle \int }{x}^2\log xdx$を計算しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\mathrm{BP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QC}$となるようにとる．このとき，次の関係式が成り立つことを証明しなさい．

$2{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=3({\mathrm{AP}}^2+2{\mathrm{BP}}^2)$

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\tan x$を用いて$\cos x\text{，}\sin x$の値を表しなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(3)　異なる$3$つの複素数$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が

$\gamma +i\beta =\alpha (1+i)$

を満たすとする．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を表す複素数平面上の点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$はどのような形か答えなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の方程式を解きなさい．

$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ x^3+y^3=35\end{array}$

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　関数$y=x^3-x$のグラフと直線$y=x$で囲まれた図形のうち，$x\geqq 0$の部分を$D$とする．

(ⅰ)　$D$の面積を求めなさい．

(ⅱ)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

【４】　数列$\{a_n\}$を$a_1=1$および$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$によって定めるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a_3>a_2$が成り立つことを示しなさい．

(2)　$n\geqq 1$について$a_{n+1}>a_n$が成り立つことを示しなさい．

(3)　$n\geqq 1$について$b_n=2-a_n$とおくとき，$b_{n+1}<{\displaystyle \frac{1}{3}}{b}_n$が成り立つことを示しなさい．

【５】　正五角形$P$の各辺の中点を順に結んでできる，$P$に内接する正五角形を$P(1)$とする．この操作をくり返してできる正五角形を$P(2)\text{，}P(3)\text{，}\cdots$とするとき，$P(n)$の面積が$P$の面積の${\displaystyle \frac{1}{3}}$より小さくなる最小の$n$を求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$0\leqq x<2\pi$とするとき，次の不等式を解きなさい．

$\sin x-\sqrt{3}\cos x<0$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の関数の不定積分を求めなさい．

${\displaystyle \frac{x^4}{x+1}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　次の極限の値を求めなさい．

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2^{-\frac{t}{2}}+2^{-\frac{t}{30}}}{2^{-\frac{t}{30}}}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　$3$人でじゃんけんを$1$回するとき，$1$人だけが勝つ確率を求めなさい．

【２】　円$O$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{AB}=m\text{，}\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{DA}=1:2:3\text{，}\mathrm{CD}<\mathrm{BC}\text{，}\angle \mathrm{ABC}=120\mathrm{°}$のとき，次の問いに答えなさい．

(1)　対角線$\mathrm{AC}$の長さを$m$を用いて表しなさい．

(2)　円$O$の半径を$m$を用いて表しなさい．

(3)　辺$\mathrm{CD}$の長さを$m$を用いて表しなさい．

(4)　辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$が平行であることを示しなさい．

【３】　ある銀行からお金を借りるとき，借入残高は$1$年ごとの複利法で計算される．複利法では，借入残高と年利率と返済額に応じて，$1$年後の借入残高が決まる．

　いま，$d$円を年利率$r$で借入れ，最初の返済は$1$年後で$p$円返済し，その後も毎年$p$円返済する場合，各年の借入残高は次のようになる．

$1$年後：$d(1+r)-p$

$2$年後：$\{d(1+r)-p\}(1+r)-p=d{(1+r)}^2-p\{(1+r)+1\}$

$⋮$

　このとき，次の問いに答えなさい．ただし，年利率$r$は正の値とし，返済終了まで一定とする．

(1)　$3$年後の借入残高を$d\text{，}p\text{，}r$を用いて表しなさい．

(2)　$n$年後の借入残高を$d\text{，}p\text{，}r\text{，}n$を用いて表しなさい．

(3)　$100$万円を年利率$8\mathrm{\%}$で借入れ，毎年$10$万円返済するとき，返済が終わるのは何年後かを求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771\text{，}{\log }_{10}5=0.6990$とする．

【４】　定数$a\text{，}c$について，関数$f(x)=c{(x-a)}^2$は，${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)dx=1$を満たすとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$c$の値を$a$を用いて表しなさい．

(2)　$I={\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)dx$の値を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$0<a<1$のとき，$I$の値を最小にする$a$の値を求めなさい．