2018　福島大学　後期理工学群

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　次の関数を微分しなさい．

$y={\displaystyle \frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}}$

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の定積分の値を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\displaystyle \frac{1-2x}{\sqrt{4-x^2}}}dx$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　$z$を複素数とする．複素数平面上で，$\left|z\right|=1$を満たす点$z$の全体が表す図形と$|z-1|=|z+1|$を満たす点$z$の全体が表す図形の交点の値をすべて求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　${({\log }_2{x}^3)}^2>{\log }_2{x}^8+1$を満たす$x$の範囲を求めなさい．

【２】　数直線上の点$\mathrm{P}$は，$1$回さいころを投げるごとに，出た目が$2$以下ならば正の方向に距離$2$移動し，出た目が$3$以上ならば正の方向に距離$1$移動する．

　いま，点$\mathrm{P}$が原点にあるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　さいころを$5$回投げたときに，点$\mathrm{P}$が原点から距離$7$の位置にある確率を求めなさい．

(2)　原点から点$\mathrm{P}$までの距離を$x$とする．さいころを$4$回投げたとき，$x$が不等式$x^2-8x+15\leqq 0$を満たす確率を求めなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y=|x^2-x-2|+bx+c$が点$(-2,1)$と点$(1,2)$を通るとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$b\text{，}c$の値を求めなさい．

(2)　曲線$C$の概形を描きなさい．

(3)　曲線$C$と直線$y=x+k$が共有点を$2$つ持つとき，$k$の値の範囲を求めなさい．

【４】　$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{BCD}$を底面とする四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$の長さを$2\text{，}$辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{AD}$の長さをともに$\sqrt{2}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を点$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の長さを求めなさい．

(2)　$\mathrm{\angle APB}$の大きさを$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

【５】　$L>0$で定義された以下の$A_n(L)$について，次の問いに答えなさい．

$A_n(L)={\displaystyle {\int }_0^{n{\log }_{e}L}}{e}^{-x}{\log }_e(1+e^{-\frac{x}{n}})dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$y=e^{-\frac{x}{n}}$とおいて，$A_n(L)$を$y$についての定積分で表しなさい．

(2)　$A_3(L)$を求めなさい．

(3)　$\underset{L\to \infty }{\lim }{A}_3(L)$の値を求めなさい．