2018　茨城大学　後期MathJax

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．また，$a$の値を求めよ．

(2)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^{\frac{3}{2}}+1)\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$の長さ$L$を求めよ．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(4)　曲線$C\text{，}$直線$l$および$y$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

(1)　$|1-z|$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$0<\theta <2\pi$の範囲で，$1\text{，}z\text{，}{z}^2\text{，}{z}^3$の中に同じ複素数があるような$\theta$の値をすべて求めよ．

以下では，(2)で求めた$\theta$の中で最小のものを${\theta }_0$とする．また，$0<\theta <{\theta }_0$のとき，複素数平面上で$4$点$\mathrm{A}(1)\text{，}\mathrm{B}(z)\text{，}\mathrm{C}(z^2)\text{，}\mathrm{D}(z^3)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とする．

(3)　$S$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　$\theta$が$0<\theta <{\theta }_0$の範囲を動くとき，$S$の最大値を求めよ．また，$S$が最大となるときの四角形$\mathrm{ABCD}$を複素数平面上に図示せよ．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，関数$f(x)$の極値を$a$を用いて表せ．

(2)　直線$l$の方程式と，点$\mathrm{P}\text{，}$点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　直線$l$と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(4)　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線と，直線$l$が直交するとき，$a$の値を求めよ．

(1)　方程式$9x+5y=1$を満たす整数$x\text{，}y$の組$(x,y)$をすべて求めよ．

(2)　$n$が奇数であることは，$5n+4$と$3n+2$の最大公約数が$1$であるための必要十分条件であることを示せ．

(3)　(1)で求めた整数の組$(x,y)$のうち，$y^2-3x^2$を最小にする組$(x,y)$をすべて求めよ．また，そのときの$y^2-3x^2$の最小値を求めよ．

(4)　(1)で求めた整数の組$(x,y)$のうち，$y^2-3x^2\leqq 6m^2$を満たす組$(x,y)$の個数を$m$を用いて表せ．

(ⅰ)　$x=2$は，$x^2=2x$であるための$\boxed{\text{(あ)}}$．

(ⅱ)　$x=y$は，$x^2+y^2=2xy$であるための$\boxed{\text{(い)}}$．

(ⅲ)　「$x+y=0$かつ$xy=0$」は，$x=y=0$であるための$\boxed{\text{(う)}}$．

(ⅳ)　$x^4-4x^3+3x^2<0$は，$1<x<3$であるための$\boxed{\text{(え)}}$．

$\text{①}$　必要条件であるが十分条件ではない

$\text{②}$　十分条件であるが必要条件ではない

$\text{③}$　必要十分条件である

$\text{④}$　必要条件でも十分条件でもない

・$x_1$と$x_2$は，ともに正の整数である．

・データの平均値は$4$である．

・データの中央値は$4$である．

このとき，これらの条件を満たす組$(x_1,x_2)$をすべて求めると，$\boxed{\text{(こ)}}$となる．あてはまるものすべてを，解答用紙の指定の欄の枠内に記入しなさい．

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{a_n\}$がある．この漸化式は定数$\alpha \text{，}\beta$を用いて，

$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$

$a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha (a_{n+1}-\beta a_n)$

のように$2$通りに変形できる．ただし，$\alpha <\beta$とする．このような$\alpha \text{，}\beta$を求めると，$\alpha =\boxed{\text{(そ)}}\text{，}\beta =\boxed{\text{(た)}}$となる．上記の$2$つの式を利用して，数列$\{a_n\}$の一般項を求めると，$a_n=\boxed{\text{(ち)}}$となる．

$\arg z^{\prime }-\arg z={\displaystyle \frac{3}{4}}\pi$かつ$\left|{\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z}}\right|=2$

を満たすような$A\text{，}B$を求めると，$A=\boxed{\text{(つ)}}\text{，}B=\boxed{\text{(て)}}$となる．

$f(x)=2x-2{\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)|dt$

を満たすとする．このような関数$f(x)$をすべて求めると，$\boxed{\text{(と)}}$となる．あてはまるものすべてを，解答用紙の指定の欄の枠内に記入しなさい．