2018　筑波大学　前期

【１】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．放物線$y=x^2$上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(\tan \theta ,{\tan }^2\theta )\text{，}\mathrm{B}(-\tan \theta ,{\tan }^2\theta )$をとる．三角形$\mathrm{OAB}$の内心の$y$座標を$p$とし，外心の$y$座標を$q$とする．また，正の実数$a$に対して，直線$y=a$と放物線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S(a)$で表す．

(1)　$p\text{，}q$を$\cos \theta$を用いて表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{S(p)}{S(q)}}$が整数であるような$\cos \theta$の値をすべて求めよ．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2+ax+b$が$2$直線$l_1\text{：}y=px\text{（}p>0\text{），}{l}_2\text{：}y=qx\text{（}q<0\text{）}$と接している．また，$C$と$l_1\text{，}{l}_2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．

(1)　$a\text{，}b$を$p\text{，}q$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$S$を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(3)　$l_1\text{，}{l}_2$が直交するように$p\text{，}q$が動くとき，$S$の最小値を求めよ．

【３】　正三角形$\mathrm{OAB}$に対し，直線$\mathrm{OA}$上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$および直線$\mathrm{OB}$上の点${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}\cdots$を，次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)を満たすようにとる．

(Ⅰ)　${\mathrm{P}}_1=\mathrm{A}$である．

(Ⅱ)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3{\mathrm{Q}}_3\text{，}\cdots$はすべて直線$\mathrm{OA}$に垂直である．

(Ⅲ)　線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_3{\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots$はすべて直線$\mathrm{OB}$に垂直である．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．点$\mathrm{O}$を基準とする位置ベクトルが，整数$k\text{，}l$によって$k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{b}$と表される点全体の集合を$S$とする．$n$を自然数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_n}$と$\overrightarrow{{\mathrm{OQ}}_n}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$で定まる点$\mathrm{R}$が線分${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$上にあるとき，$x$を$y$を用いて表せ．また，線分${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$上にある$S$の点の個数を求めよ．

(3)　三角形${\mathrm{OP}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n$の周または内部にある$S$の点の個数を求めよ．

【４】　$2$つの曲線

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}\sin x}}\text{（}0<x<\pi \text{），}$

$C_2\text{：}y=\sqrt{2}(\sin x-\cos x)\text{（}0<x<\pi \text{）}$

について以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の共有点の$x$座標を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積$V$が${\pi }^2$であることを示せ．

【５】　$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{4\pi }{t^2+{\pi }^2}}dt$とし，$c\geqq \pi$とする．数列$\{a_n\}$を$a_1=c\text{，}{a}_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$で定める．

(1)　$f(\pi )$を求めよ．また，$x\geqq \pi$のとき，$0<f^{\prime }(x)\leqq {\displaystyle \frac{2}{\pi }}$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$a_n\geqq \pi$が成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，$|a_{n+1}-\pi |\leqq {\displaystyle \frac{2}{\pi }}|a_n-\pi |$が成り立つことを示せ．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【６】　複素数$\alpha$に対して，複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}({\alpha }^2)$を考える．次の条件(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)をすべて満たす複素数$\alpha$全体の集合を$S$とする．

(Ⅰ)　$\alpha$は実数でも純虚数でもない．

(Ⅱ)　$\left|\alpha \right|>1$である．

(Ⅲ)　三角形$\mathrm{OAB}$は直角三角形である．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$が$S$に属するとき，$\angle \mathrm{OAB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であることを示せ．

(2)　集合$S$を複素数平面に図示せよ．

(3)　$x\text{，}y$を${\alpha }^2=x+yi$を満たす実数とする．$\alpha$が$S$を動くとき，$xy$平面上の点$(x,y)$の軌跡を求め，図示せよ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【２】から１題選択，【３】必須

　国際総合学類　数学III選択者　【４】か【５】か【６】から2題選択

人間学群

　教育学類，心理学類 　【１】，【２】，【３】必須，【４】，【５】，【６】から1題選択

障害科学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【２】から1題選択，【３】必須

　　数学III選択者　【４】〜【６】から2題選択

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類，地球学類　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

理工学群

　数学類，物理学類，化学類，応用理工学類，工学システム学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【６】必須

　社会工学類

　　　【１】〜【３】から1題選択，【４】〜【６】必須

情報学群

　情報科学類

　　　【１】〜【３】から2題選択，【４】〜【５】必須

　情報メディア創成学類

　　　【１】，【２】から1題選択，【３】〜【６】必須

　知識情報・図書館学類

　　選択１　【２】〜【６】から2題選択

　　選択２　【１】，【３】〜【６】から2題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から2題選択