2018　筑波大学　後期理工学群

【１】　$f(x)=e^{-x^2}$とするとき，座標平面の第$1$象限内で定義された$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=f(x)C_2\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{df(x)}{dx}}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　曲線$C_1$上を動く点$(t,f(t))$と原点$\mathrm{O}(0,0)$との距離を$s(t)$とするとき，$s(t)$の最小値を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$と原点$\mathrm{O}(0,0)$を通る直線を$L$とする．直線$L$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$C_2$と直線$L$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(5)　$y$軸，曲線$C_1\text{，}$直線$L$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }(-1,0)$をとる．さらに，$1$以外の正の定数$\alpha$に対して，点$\mathrm{A}$からの距離が点${\mathrm{A}}^{\prime }$からの距離の$\alpha$倍であるような点全体が表す図形を$L$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$L$を表す方程式を求め，$L$の図形的特徴を述べよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$以外の点$\mathrm{P}$に対して$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{OP}}}{{\mathrm{OP}}^2}}$となる点${\mathrm{P}}^{\prime }$を定める．点$\mathrm{P}$が$L$上を動くとき点${\mathrm{P}}^{\prime }$が描く図形を$L^{\prime }$とする．$L^{\prime }$を表す方程式を求め，$L^{\prime }$と$L$を比較せよ．

(3)　$L$上で原点$\mathrm{O}$からの距離が最小の点を$\mathrm{B}\text{，}$原点$\mathrm{O}$からの距離が最大の点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上を点$\mathrm{Q}$が動くとき，$\alpha$を用いて${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{Q}}}$を表せ．

(4)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に，$\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{A}}^{\prime }$と異なる$2$点$\mathrm{C}(p,q)\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }(-p,-q)$をとる．$1$以外の正の定数$\beta$に対して，点$\mathrm{C}$からの距離が点${\mathrm{C}}^{\prime }$からの距離の$\beta$倍であるような点全体が表す図形を$M$とする．$L$と$M$が異なる$2$点で交わるとき，それら$2$点を結ぶ直線は原点$\mathrm{O}$を通ることを示し，その直線の方程式を求めよ．

【３】　複素数$\alpha$は${\alpha }^2+\alpha +2=0$を満たすとする．また，複素数$z$に共役な複素数を$\bar{z}$で，複素数$z$の絶対値を$\left|z\right|$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha +\bar{\alpha }$および$\alpha \bar{\alpha }$を求めよ．

(2)　整数$m\text{，}n$を用いて$z=m+n\alpha$と表される複素数$z$に対して，それに共役な複素数も整数$m^{\prime }\text{，}{n}^{\prime }$を用いて$\bar{z}=m^{\prime }+n^{\prime }\alpha$と表される．$m\text{，}n$を用いて$m^{\prime }\text{，}{n}^{\prime }$を表せ．

(3)　整数$m\text{，}n$を用いて$z=m+n\alpha$と表される複素数$z$に対して，${\left|z\right|}^2$を$m$と$n$を用いて表し，${\left|z\right|}^2$が整数であることを示せ．

(4)　素数を$1$より大きい自然数の積で表すことはできない．ところが${\alpha }^2+\alpha +2=0$を変形すると$2=-\alpha -{\alpha }^2=(1+\alpha )(0-\alpha )$となり，$z=1+\alpha \text{，}{z}^{\prime }=0-\alpha$とおけば，複素数$z$と$z^{\prime }$の積で素数$2$を表せることがわかる．そこで，整数$m\text{，}n\text{，}{m}^{\prime }\text{，}{n}^{\prime }$を用いて

$z=m+n\alpha \text{，}{z}^{\prime }=m^{\prime }+n^{\prime }\alpha$

によって複素数$z$と$z^{\prime }$を定義したとき，$z{z}^{\prime }$が素数となる場合を考える．ここで，$z$と$z^{\prime }$はどちらも$1$や$-1$でないとする．そのようにして得られる素数のうち，$30$を超えないものをすべて求めよ．

(5)　整数$m\text{，}n\text{，}{m}^{\prime }\text{，}{n}^{\prime }$に対して$(m+n\alpha )(m^{\prime }+n^{\prime }\alpha )$が素数となるとき，どんな整数$p\text{，}q\text{，}{p}^{\prime }\text{，}{q}^{\prime }$を用いても$m+n\alpha$を

$(p+q\alpha )(p^{\prime }+q^{\prime }\alpha )$

と表すことはできないことを示せ．ただし$m+n\alpha \text{，}{m}^{\prime }+n^{\prime }\alpha \text{，}p+q\alpha \text{，}{p}^{\prime }+q^{\prime }\alpha$はどれも$1$や$-1$でないとする．