2018　筑波大学　推薦理工学群数学類

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{e^a+e^{-a}}{2}}=e$を満たす$a>0$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a$に対して，

${\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}dx=1$

が成り立つことを示せ．

【２】　$2n$個の数の組$(a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n)$に対して，

$p_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

とおく．$a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n$の各々が$3$つの数$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかの値をとるとき，$p_n$が偶数となる組$(a_1,a_2,\cdots ,a_n,b_1,b_2,\cdots ,b_n)$の個数を$f_n$とし，$p_n$が奇数となる組の個数を$g_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$f_1\text{，}{g}_1$を求めよ．

(2)　$f_{n+1}\text{，}{g}_{n+1}$を$f_n$と$g_n$を用いて表せ．

(3)　$f_n\text{，}{g}_n$を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=\sqrt[3]{x}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$上の点$\mathrm{P}(t,\sqrt[3]{t})$から，直線$y=x$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを$t$を用いて表せ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする．(1)で定めた$\mathrm{Q}$に対して，線分$\mathrm{OQ}$の長さ$s$を$t$を用いて表せ．

(3)　$y=\sqrt[3]{x}\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$と$y=x\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$で囲まれた部分を，$y=x$のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．