2018　筑波大学　推薦医学群医学類

【１】　$-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，次式で示される$y$の最大値および最小値を求めなさい．

$y={\displaystyle \frac{1+\sin \theta }{1+\cos \theta }}$

【２】　平行六面体$\mathrm{OADB}‐\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{FG}$の延長線上に$\mathrm{FG}=\mathrm{GM}$となるような点$\mathrm{M}$をとり，直線$\mathrm{OM}$が平面$\mathrm{ABC}$と交わる点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，以下の問に答えなさい．

問１　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

問２　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表しなさい．

【３】　${\mathrm{P}}_n$を$n$個の相異なる素数$p_1\text{，}{p}_2\text{，}\cdots \text{，}{p}_n$からなる集合とする．${\mathrm{P}}_n$と$1$つの素数$p$に対して，

$s(p,{\mathrm{P}}_n)={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\log }_p{p}_i$

と定める．ただし，$p$は${\mathrm{P}}_n$の元とは限らない．また素数が無限に存在することは既知とする．以下の問に答えなさい．

問１　$n\geqq 2$のとき，$s(p,{\mathrm{P}}_n)$は正の無理数であることを示しなさい．

問２　${\mathrm{P}}_7=\{2,3,5,7,11,13,17)$に対して，$k\leqq s(2,{\mathrm{P}}_7)<k+1$を満たす整数$k$を求めなさい．

問３　$s_n=s(p,{\mathrm{P}}_n)$とする．$n$を限りなく大きくするとき，数列$\{s_n\}$は正の無限大に発散することを示しなさい．