2018　筑波大学　推薦理工学群応用理工学類

【問題２　問１】　次の定積分の値を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{1}{x^2+3}}dx$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{x}^2\cos xdx$

【問題２　問２】　関数$f(x)=e^{-x}\sin x$について以下の問いに答えよ．ただし，$k$は整数とする．

(1)　${\displaystyle \int }f(x)dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-x}(\sin x+\cos x)+C$を示せ．ここで，$C$は積分定数である．

(2)　定積分$a_k={\displaystyle {\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }}f(x)dx$を求めよ．

(3)　区間$k\pi \leqq x\leqq (k+1)\pi$において，曲線$y=|f(x)|$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S_k$とする．${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}{S}_k$を求めよ．

【問題３　問１】　三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{AC}=5\text{，}\cos \angle \mathrm{BAC}={\displaystyle \frac{1}{5}}$とする．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．

【問題３　問２】　実数の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は

$a_1=b_1=2\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n-b_n)\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+b_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$を求め，これらを表す点を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$z_{n+1}=w{z}_n$を満たす複素数$w$を求めよ．

(3)　$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

【問題３　問３】　$0$以上のすべての整数$n$について$2^{3n+4}+5^{2n}$は$17$の倍数であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．（$5^2-2^3=17$を用いるとよい）