2018　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　$0$以上の整数$x\text{，}y$に対して，$R(x,y)$を次のように定義する．

$\{\begin{array}{l}xy=0\text{のとき，}R(x,y)=0\\ xy\ne 0\text{のとき，}x\text{を}y\text{で割った余りを}R(x,y)\text{とする．}\end{array}$

正の整数$a\text{，}b$に対して，数列$\{r_n\}$を次のように定義する．

$r_1=R(a,b)\text{，}{r}_2=R(b,r_1)\text{，}$

$r_{n+1}=R(r_{n-1},r_n)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

また，$r_n=0$となる最小の$n$を$N$で表す．例えば$a=7\text{，}b=5$のとき$N=3$である．

　次に，数列$\{f_n\}$を次のように定義する．

$f_1=f_2=1\text{，}{f}_{n+1}=f_n+f_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a=f_{102}\text{，}b=f_{100}$のとき，$N$を求めよ．

(2)　正の整数$a\text{，}b$について，$a$が$b$で割り切れないとき，$r_1\geqq f_N$が成立することを示せ．

(3)　$2$以上の整数$n$について，$10f_n<f_{n+1}$が成立することを示せ．

(4)　正の整数$a\text{，}b$について，$a$が$b$で割り切れないとき．

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N-1}}{\displaystyle \frac{1}{r_k}}<{\displaystyle \frac{259}{108}}$

が成立することを示せ．

【２】　$xyz$空間において，連立不等式$\left|x\right|\leqq 1\text{，}\left|y\right|\leqq 1\text{，}\left|z\right|\leqq 1$の表す領域を$Q$とし，原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$r$の球面を$S_0$とする．さらに，点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,-1)\text{，}\mathrm{C}(-1,1,-1)\text{，}\mathrm{D}(-1,-1,1)$を中心とし，$S_0$に外接する球面を，それぞれ$S_{\mathrm{A}}\text{，}{S}_{\mathrm{B}}\text{，}{S}_{\mathrm{C}}\text{，}{S}_{\mathrm{D}}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

　ここで，「球面$X$が球面$Y$に外接する」とは，$X$と$Y$が互いにその外部にあって，$1$点を共有することである．

(1)　$S_{\mathrm{A}}$と$S_{\mathrm{B}}$が共有点を持つとき，$r$の最大値$r_1$を求めよ．

(2)　$S_0\text{，}{S}_{\mathrm{A}}\text{，}{S}_{\mathrm{B}}\text{，}{S}_{\mathrm{C}}\text{，}{S}_{\mathrm{D}}$およびそれらの内部の領域の和集合と，$Q$との共通部分の体積を$V(r)$とする．区間$r_1\leqq r\leqq 1$において，$V(r)$が最小となる$r$の値$r_2$を求めよ．ここで$r_1$は(1)で求めた値とする．

(3)　$S_0$と共有点を持つどんな平面も，$S_{\mathrm{A}}\text{，}{S}_{\mathrm{B}}\text{，}{S}_{\mathrm{C}}\text{，}{S}_{\mathrm{D}}$のいずれかと共有点を持つとき，$r$の最大値$r_3$を求めよ．

【３】　関数$f(x)=x-\log (1+x)$について，以下の各問いに答えよ．ここで$\log$は自然対数を表す．また$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(1)　$p$を実数とするとき，$f(x)=p$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

　以下，$f(x)$の定義域を$x\geqq 0$に制限した関数の逆関数を$g(x)$とする．

(2)　$u$を正の実数とする．$p\geqq 0$のとき，

$p\leqq g(p)\leqq {\displaystyle \frac{u+1}{u}}\{p-u+\log (u+1)\}+u$

を示せ．

(3)　$p$を正の実数とし，$xy$平面において，曲線$y=g(x)$と直線$x=p$の交点を通り，直線$y=x$に平行な直線を$l$とする．また，$l$と$x$軸および曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，$S$を$p$を用いて表せ．

【１】　$0$以上の整数$x\text{，}y$に対して，$R(x,y)$を次のように定義する．

$\{\begin{array}{l}xy=0\text{のとき，}R(x,y)=0\\ xy\ne 0\text{のとき，}x\text{を}y\text{で割った余りを}R(x,y)\text{とする．}\end{array}$

正の整数$a\text{，}b$に対して，数列$\{r_n\}$を次のように定義する．

$r_1=R(a,b)\text{，}{r}_2=R(b,r_1)\text{，}$

$r_{n+1}=R(r_{n-1},r_n)\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

また，$r_n=0$となる最小の$n$を$N$で表す．例えば$a=7\text{，}b=5$のとき$N=3$である．

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$a=33\text{，}b=26$のとき，$N$を求めよ．

　ここで，数列$\{f_n\}$を次のように定義する．

$f_1=f_2=1\text{，}{f}_{n+1}=f_n+f_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

(2)　$a=f_{30}\text{，}b=f_{29}$のとき，$N$を求めよ．

(3)　正の整数$a\text{，}b$が，$N=5$を満たすとき，$r_1\geqq f_5$を示せ．

(4)　どんな正の整数$a\text{，}b$についても，$b\geqq f_{N+1}$が成立することを示せ．

【３】　関数$f(x)=x-\log (1+x)$について，以下の各問いに答えよ．ここで$\log$は自然対数を表す．また$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$を用いてよい．

(1)　$p$を実数とするとき，$f(x)=p$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

　以下，$f(x)$の定義域を$x\geqq 0$に制限した関数の逆関数を$g(x)$とする．

(2)　$2<g(1)<3$を示せ．ただし，自然対数の底$e$が$2<e<3$を満たすことを用いてよい．

(3)　$p$を正の実数とし，$xy$平面において，曲線$y=f(x)$と直線$x=p$の第$1$象限における交点を通り，直線$y=x$に平行な直線を$l$とする．また，$l$と$y$軸および曲線$y=f(x)$によって囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，$S$を$p$を用いて表せ．