2018　東京工業大学　前期

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$3$つの$2$次方程式

$x^2+ax+1=0\cdots \text{①}$

$x^2+bx+2=0\cdots \text{②}$

$x^2+cx+3=0\cdots \text{③}$

の解を複素数平面上で考察する．

(1)　$2$つの方程式$\text{①}\text{，}\text{②}$がいずれも実数解を持たないとき，それらの解はすべて同一円周上にあるか，またはすべて同一直線上にあることを示せ．また，それらの解がすべて同一円周上にあるとき，その円の中心と半径を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$3$つの方程式$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}$がいずれも実数解を持たず，かつそれらの解がすべて同一円周上にあるための必要十分条件を$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　$35x+91y+65z=3$を満たす整数の組$(x,y,z)$を一組求めよ．

(2)　$35x+91y+65z=3$を満たす整数の組$(x,y,z)$の中で$x^2+y^2$の値が最小となるもの，およびその最小値を求めよ．

【３】　方程式

$e^x(1-\sin x)=1$

について，次の問に答えよ．

(1)　この方程式は負の実数解を持たないことを示せ．また，正の実数解を無限個もつことを示せ．

(2)　この方程式の正の実数解を小さい方から順に並べて$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots$とし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とおく．このとき極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^2}}$を求めよ．

【４】　$xyz$空間内において，連立不等式

${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 1\text{，}\left|z\right|\leqq 6$

により定まる領域を$V$とし，$2$点$(2,0,2)\text{，}(-2,0,-2)$を通る直線を$l$とする．

(1)　$\left|t\right|\leqq 2\sqrt{2}$を満たす実数$t$に対し，点${\mathrm{P}}_t({\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}},0,{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}})$を通り$l$に垂直な平面を$H_t$とする．また，実数$\theta$に対し，点$(2\cos \theta ,\sin \theta ,0)$を通り$z$軸に平行な直線を$L_{\theta }$とする．$L_{\theta }$と$H_t$との交点の$z$座標を$t$と$\theta$を用いて表せ．

(2)　$l$を回転軸に持つ回転体で$V$に含まれるものを考える．このような回転体のうちで体積が最大となるものの体積を求めよ．

【５】　$xyz$空間内の一辺の長さが$1$の立方体

$\{(x,y,z\left)\right|0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1\text{，}0\leqq z\leqq 1\}$

を$Q$とする．点$\mathrm{X}$は頂点$\mathrm{A}(0,0,0)$から出発して$Q$の辺上を$1$秒ごとに長さ$1$だけ進んで隣の頂点に移動する．$\mathrm{X}$が$x$軸，$y$軸，$z$軸に平行に進む確率はそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$である．ただし

$p\geqq 0\text{，}q\geqq 0\text{，}r\geqq 0\text{，}p+q+r=1$

である．$\mathrm{X}$が$n$秒後に頂点$\mathrm{A}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{C}(1,01)\text{，}$$\mathrm{D}(0,1,1)$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n\text{，}$$d_n$とする．

(1)　$a_{n+2}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$と$p\text{，}q\text{，}r$を用いて表せ．

(2)　$a_n-b_n+c_n-d_n$を$p\text{，}q\text{，}r\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$a_n$を$p\text{，}q\text{，}r\text{，}n$を用いて表せ．