2018　お茶の水女子大学　前期MathJax

【１】　次の条件によって定まる数列$\{F_n\}$を考える．

$F_1=F_2=1\text{，}{F}_{n+1}=F_n+F_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$

${\displaystyle \frac{n}{2}}$を超えない最大の整数を$\left[{\displaystyle \frac{n}{2}}\right]$と表すとき，

$F_{n+1}={\displaystyle \sum _{r=0}^{\left[{\displaystyle \frac{n}{2}}\right]}}{}_{n-r}C_r$(★)

が成り立つことを以下の手順により示せ．

(1)　$1\leqq r\leqq n-1$を満たす自然数$r$に対し，

${}_{n}C_r={}_{n-1}C_r+{}_{n-1}C_{r-1}$

が成り立つことを示せ．

(2)　(★)が$n=1\text{，}2$に対して成り立つことを示せ．

(3)　すべての自然数$n$に対し，(★)が成り立つことを数学的帰納法により示せ．

【２】　$5$つの点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とそれらをつなぐ$8$つの線分からなる右図のような図形がある．

　この図形の$8$つの線分をそれぞれ赤か青に塗る方法を$1$つずつ記した合計$2^8$枚のカード（重複なし）を用意し，その中から$1$枚を無作為に引くことを考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$点のうち，点$\mathrm{O}$から出発して青の線分のみを通り到達できる点の数が$1$つであるような塗り方のカードを引く確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$点のうち，点$\mathrm{O}$から出発して青の線分のみを通り到達できる点の数が$3$つであるような塗り方のカードを引く確率を求めよ．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円をとり，その円上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．弧$\mathrm{AB}$の中心角$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．点$\mathrm{P}$は弧$\mathrm{AB}$上にあり$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なるものとし，点$\mathrm{P}$を通る直線$l$は，$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$とそれぞれ点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$で交わるものとする．また，$t$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　与えられた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=1:t$が成り立つような直線$l$がただ$1$つとれることを示せ．

(2)　$l$を$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=1:t$が成り立つようにとったとき，$t\text{，}\theta \text{，}$および弧$\mathrm{AP}$の中心角$\alpha$を用いて$▵\mathrm{OXY}$の面積$S$を表せ．また，

$2\sin (\theta -\alpha )\sin \alpha =\cos (\theta -2\alpha )-\cos \theta$

に注意して，$\mathrm{P}$を動かしたときに$S$が最大となるための$\mathrm{P}$に関する条件を求めよ．

【２】　$5$つの点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とそれらをつなぐ$8$つの線分からなる右図のような図形がある．

　この図形の$8$つの線分をそれぞれ赤か青に塗る方法を$1$つずつ記した合計$2^8$枚のカード（重複なし）を用意し，その中から$1$枚を無作為に引くことを考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$点のうち，点$\mathrm{O}$から出発して青の線分のみを通り到達できる点の数が$1$つであるような塗り方のカードを引く確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$点のうち，点$\mathrm{O}$から出発して青の線分のみを通り到達できる点の数が$3$つであるような塗り方のカードを引く確率を求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$から出発して青の線分のみを通り到達できる点は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$であるカードを引いたとする．このとき，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$点のうち，点$\mathrm{O}$から出発して赤の線分のみを通り到達できる点の数が$3$つである条件つき確率を求めよ．

【３】　平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円をとり，その円上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$をとる．弧$\mathrm{AB}$の中心角$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとする．点$\mathrm{P}$は弧$\mathrm{AB}$上にあり$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とは異なるものとし，点$\mathrm{P}$を通る直線$l$は，$\mathrm{O}$を端点とする半直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$とそれぞれ点$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$で交わるものとする．また，$t$を正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　与えられた点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=1:t$が成り立つような直線$l$がただ$1$つとれることを示せ．

(2)　$l$を$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=1:t$が成り立つようにとったとき，$t\text{，}\theta \text{，}$および弧$\mathrm{AP}$の中心角$\alpha$を用いて$▵\mathrm{OXY}$の面積$S$を表せ．また，$\mathrm{P}$を動かしたときに$S$が最大となるための$\mathrm{P}$に関する条件を求めよ．

【３】　$x>0$において定義された関数$f(x)=x^{(x^2)}$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$と第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の概形を，極限値$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)$と$\underset{x\to +0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$に注意して描け．ただし，$x\to +0$のとき$x\log x\to 0$となることは用いてよい．また，曲線の変曲点の座標を求める必要はない．

(3)　$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$が異なる$2$つの実数解$x_1\text{，}{x}_2\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$を持つとする．このとき$k$が取りうる値の範囲を求めよ．