2018　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　$a_n$は整数となることを示せ．

(2)　$a_n$が負となる$n$をすべて求めよ．

(3)　$|a_n|$が$2$の累乗となることを示せ．また，その指数を求めよ．

$I_k(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{x}^k{e}^{-ax}dx$

とおく．ただし，$k=0$のときは$I_0(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-ax}dx$と定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$t\to \infty$のとき$I_0(t)$が収束することを示し，$\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_0(t)$の値を$a$を用いて表せ．

(2)　$I_{k+1}(t)$を$I_k(t)$と$a\text{，}t\text{，}k$を用いて表せ．

(3)　$t\to \infty$のとき$I_k(t)$が収束することを示し，$\underset{t\to \infty }{\lim }{I}_k(t)$の値を$a$と$k$を用いて表せ．ただし，$\underset{t\to \infty }{\lim }{t}^{k+1}{e}^{-at}=0$となることは用いてよい．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．

(2)　$f(x)=0$の解がただ一つ存在し，それが${\displaystyle \frac{4}{3}}<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$の範囲にあることを示せ．

(3)　$n$を整数とする．各$n$について，直線$y=n$と直線$y=g(x)$の共有点の個数を求めよ．