2018　東京海洋大学　前期海洋生命科，海洋資源環境学部

【１】　$3$次関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3+a{x}^2+bx+4a^2$について次の問に答えよ．

(1)　$a=b=1$のとき，$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$f(x)$が$x=1$で極大値${\displaystyle \frac{9}{2}}$をとるとき，$f(x)$の極小値を求めよ．

【２】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$について次の問に答えよ．ただし係数$a\text{，}b\text{，}c$は実数で，$a\ne 0$とする．

(1)　$a=c=1$のとき，${\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)dx=0$となる実数$k$が存在するような$b$の値の範囲を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}f(x)dx={\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)dx$となる実数$k$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{k-1}^k}f(x)dx={\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)dx={\displaystyle {\int }_{k+1}^{k+2}}f(x)dx$となる実数$k$は存在しないことを示せ．

【３】　不等式

${\log }_{x}y-2{\log }_{y}x-1<0\cdots$(＊)

について次の問に答えよ．ただし$x\text{，}y$は$1$と異なる正の実数である．

(1)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，不等式(＊)を満たす$y$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x$が$1$と異なる正の実数のとき，不等式(＊)を満たす$y$の値の範囲を$x$を用いて表せ．

【４】　平面上の$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=5\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=4$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の値をすべて求めよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$の値をすべて求めよ．

【５】　図１のような$2\times 4$のマスがあり，各マスに$1$から$8$までの自然数が$1$つずつ書かれている．また，$1$から$8$までの番号札が$1$枚ずつ入った袋があり，この袋から番号札を$1$枚取り出し，同じ番号のマスを黒く塗りつぶす．ただし，番号札を取り出す確率はいずれも等しく，一度取り出した番号札は袋に戻さないものとする．この操作を「黒く塗りつぶされたマスが横一列に$4$つ並ぶ」という条件が満たされるまでくり返し，その条件が満たされたとき操作を終了する．

　例えば$2\text{，}6\text{，}4\text{，}1\text{，}8\text{，}3$の順に番号札を取り出した場合は図２のように塗りつぶされていき，操作がちょうど$6$回で終了する．

このとき次の問に答えよ．

(1)　操作がちょうど$4$回で終了する確率を求めよ．

(2)　操作がちょうど$6$回で終了する確率を求めよ．

(3)　操作がちょうど$7$回で終了する確率を求めよ．