2018　東京海洋大学　前期海洋工学部

【１】　実数$k$に対して，方程式

$k{x}^2-2x+4(k-1)y+4k-4=0$

が表す座標平面上の図形を$C$とする．

(1)　$C$は$k$の値によらずに$2$つの定点を通る．その$2$点の座標を求めよ．

(2)　$k=0\text{，}k=1$それぞれの場合に$C$の概形をかけ．

(3)　$C$が下に凸の放物線となる$k$の値の範囲を求めよ．

(4)　(3)のとき，$C$の接線で(1)の$2$定点を結ぶ直線に平行なものを$l$とする．$l$の方程式を$k$を用いて表せ．

(5)　(3)のとき，(4)の$l$と$C\text{，}$および$y$軸によって囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$1$から$6$までの目が出るさいころを$1$回振るごとに，$\mathrm{A}$さんは$5$以上の目が出たら$1$点もらい，$4$以下の目が出たら$1$点失うとし，$\mathrm{B}$さんは$3$以上の目が出たら$1$点もらい，$2$以下の目が出たら$1$点失うとする．初めの得点は二人とも$0$点で，負の得点も許すとする．

(1)　$\mathrm{A}$さんが$4$回さいころを振り終えたとき，$\mathrm{A}$さんの得点が$2$点である確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんが別々のさいころを$4$回ずつ振り終えたとき，二人の得点の合計が$0$点である確率を求めよ．

(3)　一つのさいころの目に二人がともに従うとする．さいころを$4$回振り終えたとき，二人の得点の合計が$0$点である確率を求めよ．

【３】　座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}(1,2)\text{，}\mathrm{B}(-1,3)$を直径の両端とする円を$K$とし，$K$上に点$\mathrm{P}(a,b)$をとる．また，$\mathrm{P}$における$K$の接線を$l$とし，$l$上に点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)　$K$の中心$\mathrm{C}$の座標，および$K$の方程式を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$の内積は，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のそれぞれ$K$上と$l$上でのとり方によらずに定数となることを示し，この定数を求めよ．

(3)　$l$と直線$\mathrm{AB}$が交点をもつとき，$\mathrm{Q}$をその交点にとる．$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(4)　(3)において，点$\mathrm{Q}$の$x$座標が正であり，かつ$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【４-Ⅰ】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に図のように，$x$軸，$y$軸，$z$軸上に辺があり，一辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCO}‐\mathrm{DEFG}$がある．また，正の実数$k$に対して$3$点$(k,0,0)\text{，}(0,k,0)\text{，}(0,0,2k)$を通る平面を$\alpha$とする．

(1)　$k=1$のとき，平面$\alpha$による立方体$\mathrm{ABCO}‐\mathrm{DEFG}$の切り口は多角形になる．この多角形のすべての頂点の座標を求めよ．

(2)　$1\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，平面$\alpha$による立方体$\mathrm{ABCO}‐\mathrm{DEFG}$の切り口の面積$S$を$k$を用いて表せ．

(3)　$1\leqq k\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$における$S$の最大値を求めよ．

【４-Ⅱ】　関数$f(x)=2e^{3x}-9e^{2x}+12e^x-4$に対して，座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$と$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求め，$C$の概形をかけ．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(3)　$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．