2018　富山大学　前期MathJax

【１】　$2$つの曲線$C_1\text{：}y=x^3-x\text{，}{C}_2\text{：}y=x^2+ax$を考える．ただし，$a$は実数である．

(1)　$C_1$と$C_2$がある共有点で共通の接線をもつような$a$の値をすべて求めよ．さらに，そのときの接点の$x$座標を求めよ．

(2)　(1)で求めたそれぞれの$a$に対して，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\mathrm{BC}=t\text{（}1<t<5\text{）}$である三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする直三角柱$T$を考える．ただし，直三角柱とは，すべての側面が底面と垂直であるような三角柱である．さらに，球$S$が$T$の内部に含まれ，$T$のすべての面に接しているとする．

(1)　$S$の半径を$r\text{，}T$の高さを$h$とする．$r$と$h$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　$T$の表面積を$K$とする．$K$を最大にする$t$の値と，$K$の最大値を求めよ．

【３】　実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[a]$で表すことにする．

(1)　すべての実数$x$に対して

$[x]+[x+{\displaystyle \frac{1}{2}}]=[2x]$

が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して，$2^n>n$が成り立つことを示せ．

(3)　$n$を自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}[{\displaystyle \frac{n}{2^k}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}]$

を求めよ．

【１】　原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1\text{，}$点$\mathrm{B}(-1,0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}(1,0)$を出発して，一定の速さで反時計回りに円$C_1$上を半周して点$\mathrm{B}$で停止する．一方，点$\mathrm{Q}$は点$\mathrm{D}(-2,0)$を点$\mathrm{P}$と同時に出発して，点$\mathrm{P}$の速さの$2$倍の速さで時計回りに円$C_2$上を$1$周して停止する．

(1)　$\angle \mathrm{AOP}=\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とするとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$\theta$を用いて表せ．

(2)　$t=\cos \theta$とする．${\mathrm{PQ}}^2$を$t$を用いて表せ．

(3)　${\mathrm{PQ}}^2$を最小にする$t$の値と，${\mathrm{PQ}}^2$の最小値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\sqrt[3]{x^2}$は$x=0$で微分可能でないことを示せ．

(2)　関数

$f(x)=\sqrt[3]{{(x-1)}^2}+2\sqrt[3]{{(x+2)}^2}$

を考える．

(a)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\mathrm{llim}}f(x)$をそれぞれ求めよ．

(b)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．

(c)　$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数が$4$個となるような$k$の値の範囲を求めよ．

【３】　$0\leqq x\leqq 1$で定義された次の関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を考える．

$f(x)=|x-[x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\left]\right|$

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}[f(x)+{\displaystyle \frac{3}{4}}]$

$h(x)=|f(x)-g(x)|+f(x)$

ただし，実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[a]$で表し，$a$の絶対値を$\left|a\right|$で表す．

(1)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　$y=g(x)$のグラフをかけ．

(3)　$y=h(x)$のグラフをかけ．

(4)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^1}h(x)\sin \pi xdx$

の値を求めよ．