2018　福井大学　前期

【１】　$n$を自然数とする．袋$\mathrm{A}$には赤球$7$個と白球$n$個，袋$\mathrm{B}$には白球$5$個が入っている．中身をよくかき混ぜた後で，袋$\mathrm{A}$から球を同時に$2$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，中身をよくかき混ぜた後で袋$\mathrm{B}$から球を同時に$2$個取り出す．袋$\mathrm{A}$から取り出した$2$個の球の色が異なる確率を$p_n\text{，}$袋$\mathrm{B}$から取り出した$2$個の球の色が異なる確率を$q_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$p_n$が最大となる$n$の値を求めよ．またそのときの$p_n$の値を求めよ．

(3)　$q_n={\displaystyle \frac{4n+20}{(n+7)(n+6)}}$であることを示せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面と直線$\mathrm{OR}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{OR}:\mathrm{OS}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{\angle BOC}=90\mathrm{°}$とする．直線$\mathrm{BR}$が$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Q}$を含む平面に垂直であるとき，$\cos \mathrm{\angle AOB}\text{，}\cos \mathrm{\angle AOC}$をそれぞれ求めよ．

【３】　自然数$n$に対して，$3^n$を$5$で割ったときの商を$a_n\text{，}$余りを$b_n$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{b}_n$の値を求めよ．

(2)　$a_n$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{a}_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ．

【４】　$k$は$-1<k<1$を満たす実数とし，$f(x)=x^3+3k{x}^2+(3k^2-3)x$とおく．曲線$C\text{：}y=f(x)$と$x$軸との原点以外の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とし，$C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha +\beta \text{，}\alpha \beta$を$k$を用いて表せ．

(2)　$S$を$k$の式で表せ．

(3)　$k$が$-1<k<1$の範囲を動くとき，$S$の最小値と，そのときの$k$の値を求めよ．

【５】　負でない整数$n$に対して，$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{t}^n\sin 2tdt$の区間$0\leqq x\leqq \pi$における最大値を$I_n$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　区間$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$I_n$を$I_{n-2}$の式で表せ．

(3)　$I_4\text{，}{I}_5$を求めよ．

【６】　$f(x)=x^3-6x^2+9x+5\text{，}g(x)=-x^2+7x-3$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1\text{，}y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の区間$0\leqq x\leqq a$における最大値が$9$となるような正の定数$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$との交点の$x$座標を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{2n{a}_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{a_2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{a_3}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_n>0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【２】　$1$回投げたときに表が出る確率が$p$であるコインが$1$枚ある．ただし，$0<p<1$とする．このコインを$10$回続けて投げるとき，表が$m$回出る確率を$P(m)$とおく．ただし，$0\leqq m\leqq 10$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$P(m)$を$p\text{，}m$を用いた式で表せ．

(2)　$0\leqq m\leqq 9$について，$Q(m)={\displaystyle \frac{P(m+1)}{P(m)}}$とおく．$0\leqq m\leqq 8$ならば$Q(m+1)<Q(m)$であることを示せ．

(3)　$0\leqq m\leqq 10$であるすべての$m$について，$P(m)\leqq P(3)$であるとする．このとき，$p$の値の範囲を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^{2x}}t\sin tdt$について，以下の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)$が最大値をとる$x$の値を$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)$の最小値を求めよ．

【１】　方程式$x^3=1$の虚数解の$1$つを$\omega$とする．複素数平面上で，原点$\mathrm{O}$でない点$\mathrm{A}(z)$に対して$5$点$\mathrm{B}(-z\bar{\omega })\text{，}\mathrm{C}(z\omega )\text{，}\mathrm{D}(-z)\text{，}\mathrm{E}(z\bar{\omega })\text{，}\mathrm{F}(-z\omega )$をとる．以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$z=1+2i$のとき，三角形$\mathrm{ACE}$と三角形$\mathrm{BDF}$の共通部分の面積を求めよ．

(2)　六角形$\mathrm{ABCDEF}$の各頂点と$\mathrm{O}$を線分で結ぶと，この六角形は$6$個の三角形に分割される．動点$\mathrm{P}$は$\mathrm{O}$を出発して，$1$秒後に辺で結ばれている点のいずれかに移動する．さらにその点を出発点としてこの移動を繰り返す．ただし，$\mathrm{P}$は今いる点からその点と辺で結ばれている点へは等しい確率で移動する．例えば，右図のような四角形の場合では

・$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$にいるときは$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}\text{，}\mathrm{W}$のいずれかに${\displaystyle \frac{1}{4}}$の確率で移動する．

・$\mathrm{P}$が$\mathrm{X}$にいるときは$\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{W}$のいずれかに${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で移動する．

$\text{①}$　$\mathrm{P}$が$2$秒後に$\mathrm{O}$にいる確率$p_2\text{，}3$秒後に$\mathrm{O}$にいる確率$p_3$をそれぞれ求めよ．

$\text{②}$　$\mathrm{P}$が$n$秒後に$\mathrm{O}$にいる確率$p_n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

【２】　実数から実数への関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たす．

・任意の実数$x\text{，}y$に対して，$|f(x)-f(y)|=|x-y|$

・$x$が整数のとき，$f(x)$も整数

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$はどの値も固定しない．すなわち，任意の実数$x$に対して$f(x)$は$x$と異なるとき，$f(x)=x+n$（$n$は$0$以外の整数）となることを示せ．

(2)　$f(x)$が$1$点$x_0$のみを固定するとき，すなわち，ただ$1$つの実数$x_0$に対して$f(x_0)=x_0$となるとき，$x_0$を$f(0)$を用いて表せ．

(3)　$f(x)$が$2$点以上の点を固定するとき，すなわち，少なくとも$2$つの実数$x_1\text{，}{x}_2\text{（}{x}_1\ne x_2\text{）}$に対して$f(x_1)=x_1$かつ$f(x_2)=x_2$となるとき，任意の実数$x$に対して$f(x)=x$となることを示せ．

【３】　座標空間において，$xy$平面上の$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$である二等辺三角形$\mathrm{BCD}$を，直線$\mathrm{BC}$を回転軸として$z$軸方向へ$60\mathrm{°}$回転したとき，頂点$\mathrm{D}$の回転後の点を$\mathrm{A}$とする．もとの二等辺三角形$\mathrm{BCD}$を底面，$\mathrm{A}$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$を作る．さらに辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点，辺$\mathrm{BC}$の中点，辺$\mathrm{CD}$を$2:3$に内分する点を，それぞれ$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とし，$3$点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る平面と直線$\mathrm{AD}$との交点を$\mathrm{S}$とする．また四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$V$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AS}}{\mathrm{DS}}}$を求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle AMS}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{BD}=1$のとき，$V$の最大値とそのときの辺$\mathrm{AD}$の長さをそれぞれ求めよ．

【４】　$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式

$(x+1)f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt+2\log (x+1)+x-2$

を満たす．以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)$\text{①}$　$f(x)$を求めよ．

$\text{②}$　方程式$f(x)=0$は，開区間$(0,e)$に実数解をただ$1$つもつことを示せ．

(2)　$h(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{2}{x+1}}$とおき，$h(x)$の逆関数を$g(x)$とする．

$\text{①}$　$g(x)$を求めよ．

$\text{②}$　自然数$n$に対して，

$P(n)=g\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)\cdot {\displaystyle \frac{n^2}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin nxdx$

とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }|P(n)|$を求めよ．