2018　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式$x^3={\displaystyle \frac{1}{8}}$の$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$以外の解を複素数の範囲ですべて求めよ．

(2)　(1)で求めた解のうち，虚部が正のものを$\alpha$とおく．${\alpha }^n$の実部を$a_n\text{，}$虚部を$b_n$として，図のように点$\mathrm{P}$が座標平面上を以下の規則で移動する：

・原点$\mathrm{O}$から出発する．

・第$n$番目の移動で$x$軸の方向に$a_n\text{，}y$軸の方向に$b_n$移動する．ただし，$n$は自然数である．

第$n$番目の移動が終わった時点での点$\mathrm{P}$の位置を${\mathrm{P}}_n$とするとき，以下の設問に答えよ．

ア)　${\mathrm{P}}_3$の座標$(x,y)$を求めよ．

イ)　${\mathrm{P}}_{3m}$の座標を，$m$およびア)の$p\text{，}q$を用いた$p\text{，}q$についての$1$次式で表せ．ただし，$m$は自然数とする．

ウ)　$m\to \infty$のとき，${\mathrm{P}}_{3m}$が近づく点の座標を，ア)の$p\text{，}q$を用いた$p\text{，}q$についての$1$次式で表せ．

【２】　半径$1$の球$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$と半径$r$の球$S_4$があり，それぞれ他の$3$つの球と外接している．球$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$r=1$としたときの球$S_4$の中心を$C\text{，}r=3$としたときの球$S_4$の中心を$C^{\prime }$とする．ただし，内積$\overrightarrow{\mathrm{GC}}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{GC}}^{\prime }}>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$の内積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．

(3)　四面体${\mathrm{OABC}}^{\prime }$の体積を求めよ．

(4)　$\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\prime }}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

【３】　$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=\sin 2x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{，}$曲線$C_2\text{：}y=m\cos x(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$について，次の問いに答えよ．ただし，$m$は$0<m<2$とする．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点の$x$座標の値を$\alpha$とするとき，$m$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2$および$y$軸で囲まれた部分の面積と，曲線$C_1\text{，}$曲線$C_2$で囲まれた部分の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を，(1)の$\alpha$を用いて表せ．

(3)　(2)の$S(m)$を最小にする$m$の値およびそのときの$S(m)$の値を求めよ．

【４】　母音を表す$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{U}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{O}$と，子音を表す$\mathrm{K}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{R}$の$10$種類の文字を使って，単語を作ることを考える．ここでいう単語とは次の$3$つの条件を満たす文字列である．

$\text{①}$　単語は，音節を左から右に一列に並べたものである．

$\text{②}$　音節は，$1$つの母音から成る$1$文字，$1$つの子音を左に，$1$つの母音を右に並べた$2$文字，あるいは，$\mathrm{NN}$の$2$文字，のいずれかである．

$\text{③}$　単語の左端の音節は$\mathrm{NN}$であってはいけない．

ただし，単語は同じ文字を$2$つ以上含んでもよい．例えば，$4$文字を一列に並べた$\text{"}\mathrm{AKAI}\text{"，}\text{"}\mathrm{NEKO}\text{"，}\text{"}\mathrm{HONN}\text{"}$は上記$3$つの条件を満たすので単語である．$\text{"}\mathrm{AAIK}\text{"，}\text{"}\mathrm{KOEN}\text{”，}\text{"}\mathrm{NNHO}\text{"}$は条件を満たさないので単語ではない．以下の問いに答えよ．解が分数になるときは既約分数とせよ．

(1)　$2$文字の単語は何通りあるか求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{U}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{K}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{R}$の$10$文字から$1$文字選ぶ試行を$3$回くり返して，選んだ順に左から右へ$3$文字を並べる．ただし，同じ文字をくり返し選んでもよいものとする．このとき，得られた文字列が単語となる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{I}\text{，}\mathrm{U}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{K}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{H}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{R}$の$10$文字から$1$文字選ぶ試行を$5$回くり返して，選んだ順に左から右へ$5$文字を並べる．ただし，同じ文字をくり返し選んでもよいものとする．左端の文字が$\mathrm{N}$であったとき，その文字列が単語となる条件付き確率を求めよ．