2018　愛知教育大学　前期MathJax

【１】　定数$a$を$a\ne 0\text{，}$$1$なる実数とするとき，$x$についての$2$次不等式

$a(a-1)x^2+(2-3a)x+2<0$

を解け．

【２】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$名が次のようなゲームを行う．

(ⅰ)　まず$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$名とも右図の左端の$\boxed{0}$に自分のコマを置く．

(ⅱ)　$1$枚の硬貨を投げて出た表裏に応じて自分のコマを動かす．これを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の順に交互に繰り返して，最初に$\boxed{6}$に到達した者を勝ちとする．

(ⅲ)　コマの進み方：$1$枚の硬貨を投げて表が出たら右に$2$マスだけ，裏が出たら右に$1$マスだけ進む．ただし自分の進んだ先に相手のコマがある場合には，相手のコマより$1$つ左に進む．

　例えば，自分のコマが$\boxed{3}$に，相手のコマが$\boxed{4}$にあるときに自分が硬貨を投げた結果，裏が出たときには$\boxed{3}$に留まり，表が出たときには$\boxed{5}$に進む．また，自分のコマが$\boxed{3}$に，相手のコマが$\boxed{5}$にあるときに自分が硬貨を投げた結果，裏が出たときには$\boxed{4}$に進み，表が出たときにも$\boxed{4}$に進む．

(ⅳ)　$\boxed{5}$にいるときに表が出た場合には$\boxed{6}$に進むものとする．

このとき以下の問いに答えよ．

問１　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がともに$1$回硬貨を投げたときの$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のコマの位置とそれが起こる確率をすべて求めよ．ただし$\mathrm{A}$のコマの位置が$\boxed{a}$で$\mathrm{B}$のコマの位置が$\boxed{b}$のとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のコマの位置を$(a,b)$と書くこと．

問２　$\mathrm{B}$の勝つ確率を求めよ．

【３】　曲線$y=x^2(x-1)$と，その曲線上の点$(a,a^2(a-1))$における接線で囲まれた図形の面積が${\displaystyle \frac{1}{12}}$になるとき，$a$の値を求めよ．

【４】　$0\leqq x\leqq 1$に対して

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^1}\log (|t-x|+1)\mathit{dt}$

とおく．このとき関数$y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

【５】　平面上に一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0$がある．線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0$上に点${\mathrm{P}}_1$を，$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0{\mathrm{P}}_1={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$となるようにとる．次に，線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_0$上に点${\mathrm{Q}}_1$を，直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1$が直線${\mathrm{P}}_0{\mathrm{Q}}_0$に平行になるようにとる．以下同様に，自然数$k$に対し，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k$上に点${\mathrm{P}}_{k+1}$を，$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$となるようにとり，線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_k$上に点${\mathrm{Q}}_{k+1}$を，直線${\mathrm{P}}_{k+1}{\mathrm{Q}}_{k+1}$が直線${\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k$に平行になるようにとる．

　三角形${\mathrm{P}}_{k-1}{\mathrm{Q}}_{k-1}{\mathrm{P}}_k$の面積を$a_k$とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　$a_1$を求めよ．

問２　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学選修・数学専攻・情報選修・情報専攻　【１】，【２】，【３】，【４】，【５】必答

教育科学専攻　【１】，【２】，【３】必答