2018　鳥取大学　前期MathJax

(1)　$\sqrt{3}$は無理数であることを証明せよ．

(2)　有理数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して，$a+b\sqrt{3}=c+d\sqrt{3}$ならば，$a=c$かつ$b=d$であることを示せ．

(3)　$(a+\sqrt{3})(b+2\sqrt{3})=9+5\sqrt{3}$を満たす有理数$a\text{，}b$を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$を求めよ．

(3)　$d=2$のとき，三角形$\mathrm{PBC}$の面積を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{PBC}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{PAB}$の面積を$T\text{，}$三角形$\mathrm{PAC}$の面積を$U$とする．$S^2=T^2-U^2$となる$d$を求めよ．

$x+y+z=n$(＊)

を満たす自然数の組$(x,y,z)$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=8$のとき，(＊)を満たす自然数の組$(x,y,z)$の個数を求めよ．

(2)　(＊)を満たす自然数の組$(x,y,z)$の個数を$n$を用いて表せ．

(3)　$x+y+z\leqq n$を満たす自然数の組$(x,y,z)$の個数を$n$を用いて表せ．

(1)　$b$の満たす条件を求めよ．

(2)　曲線$C$と$2$本の接線$l\text{，}m$で囲まれた部分の面積を$A$とするとき，$A$の値を求めよ．

(3)　$x$軸と$2$本の接線$l\text{，}m$で囲まれた部分の面積を$B$とする．$A=B$となるときの$b$の値を求めよ．

(1)　実数$x\text{，}y\text{，}u\text{，}v$に対して$z=x+iy\text{，}w=u+iv$とするとき，$x\text{，}y$をそれぞれ$u$と$v$を用いて表せ．

(2)　複素数平面上の$2$点$z_1=1$と$z_2=i$を結ぶ線分上を点$z$が動くとき，点$w$はどのような図形を描くか図示せよ．

(1)　関数$y=x^2{e}^{-x^2}$の極値を求め，そのグラフをかけ．

(2)　極限値$\underset{r\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^r}{x}^2{e}^{-x^2}dx$を求めよ．

(1)　$F(t)$を求めよ．

(2)　関数$F(t)$の極値を求めよ．

(1)　関数$y=x^{2n+1}{e}^{-x^2}$の極値を求め，そのグラフをかけ．

(2)　$I_0\text{，}{I}_1$を求めよ．

(3)　$I_n$を求めよ．