2018　岡山大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)=x^3-3x$を考える．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(t,f(t))$における接線を$L$とする．ただし$0<t<1$とする．曲線$C$と接線$L$の接点$\mathrm{A}$以外の共有点を$\mathrm{B}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の座標を$t$を用いて表せ．

(2)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$y$座標の差の絶対値が最大となる$t$の値を求めよ．

【２】　角$\alpha$は$0\leqq \alpha \leqq \pi$を満たし，$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．角$\theta$は$\alpha \leqq \theta \leqq \pi$の範囲を動くとする．$f(\theta )=\sin 2\theta -\sin \theta -\cos \theta +2$とおく．また，$t=\sin \theta +\cos \theta$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$の値を求めよ．

(2)　$t$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f(\theta )$を$t$の式で表せ．

(4)　$f(\theta )$の最小値を求めよ．

【３】　$k$を実数とし，$x$についての$2$次方程式

$x^2-kx+3k-4=0$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$x^2-kx+3k-4=0$が虚数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$x^2-kx+3k-4=0$が虚数解$\alpha$をもち，${\alpha }^4$が実数になるような$k$の値をすべて求めよ．

【４】　$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{A}(2,0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,3,-1)\text{，}\mathrm{C}(0,3,-3)$がある．線分$\mathrm{BC}$上の点を$\mathrm{P}(0,3,s)$とおく．線分$\mathrm{AP}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$t$は$0<t<1$を満たす．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$3$の球面を$K$とし，球面$K$と$xy$平面が交わってできる円の面積を$S_1\text{，}$球面$K$と$yz$平面が交わってできる円の面積を$S_2$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　球面$K$の方程式を求めよ．

(2)　$S_1$を$s$と$t$の式で表せ．

(3)　点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{BC}$上で固定し，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AP}$上を動くものとする．$S_1+S_2$が最大値をとる$t$を$s$の式で表せ．

(4)　(3)において点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{AP}$の中点であるときに$S_1+S_2$が最大値をとるとする．このときの$s$の値を求めよ．

【１】　関数$f(x)=(1+x)e^x$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$について，原点を通るすべての接線の方程式を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$について，原点を通る接線のうち，接点の$x$座標が最大のものを$L$とする．曲線$y=f(x)$と直線$L$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　図１のような経路の図があり，次のようなゲームを考える．最初は$\overline{)\text{A}}$から出発し，$1$回の操作で，$1$個のさいころを投げて，出た目の数字が矢印にあればその方向に進み，なければその場にとどまる．この操作を繰り返し，$\overline{)\text{D}}$に到達したらゲームは終了する．

　例えば$\overline{)\text{B}}$にいるときは，$1\text{，}3\text{，}5$の目が出れば$\overline{)\text{C}}$へ進み，$4$の目が出れば$\overline{)\text{D}}$へ進み，$2\text{，}6$の目が出ればその場にとどまる．$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　ちょうど$n$回の操作を行った後に$\overline{)\text{B}}$にいる確率を$n$の式で表せ．

(2)　ちょうど$n$回の操作を行った後に$\overline{)\text{C}}$にいる確率を$n$の式で表せ．

(3)　ちょうど$n$回の操作でゲームが終了する確率を$n$の式で表せ．