2018　広島大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$t$の$2$次関数$s=(t-{\displaystyle \frac{1}{5}})(t-{\displaystyle \frac{3}{5}})$のグラフを図示せよ．

(2)　次の条件(A)を満たす座標平面上の点$(u,v)$の存在範囲を図示せよ．

(A)	$2$次式$t^2-ut+v$は，$0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1$を満たす実数$x\text{，}y$を用いて$t^2-ut+v=(t-x)(t-y)$と因数分解される．

(3)　次の条件(B)を満たす座標平面上の点$(u,v)$の存在範囲を図示せよ．

(B)	$2$次式$t^2-ut+v$は，$0\leqq x\leqq 1\text{，}1\leqq y\leqq 2$を満たす実数$x\text{，}y$を用いて$t^2-ut+v=(t-x)(t-y)$と因数分解される．

(4)　座標平面上の点$(x,y)$が$4$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(1,2)\text{，}(0,2)$を頂点とする長方形の周および内部を動くとき，点$(x+y,xy)$の動く範囲の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，不等式

$\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{2}}}<1$

が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$\theta$に対し，

$\cos \alpha =\sqrt{{\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{2}}}(0\leqq \alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

により定まる実数$\alpha$は，$\theta$についての整式$f(\theta )$を用いて$\alpha =f(\theta )$と表すことができる．このような$f(\theta )$を一つ求めよ．

(3)　(2)で求た$f(\theta )$を用いて，数列$\{{\theta }_n\}$を

${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}{\theta }_{n+1}=f({\theta }_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定める．数列$\{{\theta }_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　(3)の数列$\{{\theta }_n\}$に対し，

$|{\theta }_{n+1}-{\theta }_n|\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{1000}}$

となる最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線

$C\text{：}y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{13}{6}}$

を考える．$C$上の点$\mathrm{D}(-1,2)$における$C$の接線を$l$とし，$\mathrm{D}$と異なる$C$と$l$の共有点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(3)　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の周上の点$\mathrm{A}(a,b)$を考える．ただし，$a$と$b$はともに正であるとする．直線$l$上の動点$\mathrm{P}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$が$\mathrm{P}$の位置によらず一定であるとき，$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(4)　$\mathrm{A}$を(3)で求めた点とする．点$\mathrm{Q}$が$C$上を$\mathrm{D}$から$\mathrm{E}$まで動くときの$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最大値を求めよ．

【４】　座標平面上で，三つの不等式

$y\geqq 0\text{，}x+y\geqq 4\text{，}2x+3y\leqq 12$

によって表される領域を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　座標平面上で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$D$に含まれる格子点をすべて求めよ．

(3)　$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出た目の数を$X\text{，}2$回目に出た目の数を$Y$とする．点$(X,Y)$が$D$に含まれる確率を求めよ．

(4)　$1$個のさいころを$n$回投げるとき，出た目の数の中の最小の数を$Z\text{，}$最大の数を$W$とする．点$(Z,W)$が$D$に含まれる確率$P_n$を求めよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　次の条件(A)を満たす座標平面上の点$(u,v)$の存在範囲を図示せよ．

(A)	$2$次式$t^2-ut+v$は，$0\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 1$を満たす実数$x\text{，}y$を用いて$t^2-ut+v=(t-x)(t-y)$と因数分解される．

(2)　次の条件(B)を満たす座標平面上の点$(u,v)$の存在範囲を図示せよ．

(B)	$2$次式$t^2-ut+v$は，$0\leqq x\leqq 1\text{，}1\leqq y\leqq 2$を満たす実数$x\text{，}y$を用いて$t^2-ut+v=(t-x)(t-y)$と因数分解される．

(3)　座標平面上の点$(x,y)$が$4$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(1,2)\text{，}(0,2)$を頂点とする長方形の周および内部を動くとき，点$(x+y,xy)$の動く範囲の面積を求めよ．

【２】　複素数平面上の$4$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}\mathrm{B}(\beta )\text{，}\mathrm{C}(\gamma )\text{，}\mathrm{D}(\delta )$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$を考える．ただし，四角形$\mathrm{ABCD}$は，すべての内角が$180\mathrm{°}$より小さい四角形（凸四角形）であるとする．また，四角形$\mathrm{ABCD}$の頂点は反時計回りに$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の順に並んでいるとする．四角形$\mathrm{ABCD}$の外側に，$4$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形$\mathrm{APB}\text{，}\mathrm{BQC}\text{，}\mathrm{CRD}\text{，}\mathrm{DSA}$を作る．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$を表す複素数を求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{PQRS}$が平行四辺形であるための必要十分条件は，四角形$\mathrm{ABCD}$がどのような四角形であることか答えよ．

(3)　四角形$\mathrm{PQRS}$が平行四辺形であるならば，四角形$\mathrm{PQRS}$は正方形であることを示せ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$t$に対し，$1+t\leqq e^t$が成り立つことを示せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{1}{1+\sin x}}dx$の値を求めよ．

(3)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{\pi }{4}}-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{e}^{-\sin x}dx\leqq 2-\sqrt{2}$

【４】　$0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$の数字が一つずつ書かれた$4$枚のカードがある．この中から$1$枚を取り出し，書かれた数字を見て元に戻す．この操作を$N$回繰り返し，カードに書かれた数字を順に$Z_1\text{，}{Z}_2\text{，}\cdots \text{，}{Z}_N$とする．ここで，$N$は$3$以上の自然数である．さらに，複素数

$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$

を用いて，項数$N$の数列$\{X_n\}$を

$X_1={\alpha }^{Z_1}\text{，}{X}_{n+1}=X_n{\alpha }^{Z_{n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N-1\text{）}$

により定める．$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$に対し，$X_n=\alpha$となる確率を$P_n$とし，$X_n={\alpha }^2$となる確率を$Q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$P_1$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N-1$とする．${\alpha }^{Z_{n+1}}=1$となる確率を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$とする．$X_n=1$となる確率を，$P_n$と$Q_n$を用いて表せ．

(4)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N-1$に対し，$P_n$を用いて$P_{n+1}$を表せ．

(5)　$n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$に対し，$P_n$を求めよ．

【５】　座標平面上で，曲線$C\text{：}y=x^3-3x$と，$b>a^3-3a$を満たすように動く点$\mathrm{P}(a,b)$を考える．また，点$\mathrm{P}$に対し，二つの不等式

$|x-a|\leqq 1\text{，}|y-b|\leqq 1$

によって表される座標平面上の領域を$B$とする．領域$B$と曲線$C$に対して，$B$と$C$が共有点$\mathrm{Q}$をもち，さらに$B$と$C$の共有点が$B$の境界線上にしかないとき，$B$と$C$は点$\mathrm{Q}$で接するということにする．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形をかき，さらに点$\mathrm{P}$の座標が$(-2,3)$のときの領域$B$を図示せよ．

(2)　$B$と$C$が$x<-1$の範囲にある点で接するように，点$\mathrm{P}$は動くとする．このときの点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(3)　$B$と$C$がある点で接するように点$\mathrm{P}$は動くとする．このときの点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(4)　(3)の点$\mathrm{P}$の軌跡は，ある関数$y=f(x)$のグラフで表すことができる．この$y=f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．