2018　広島大学　後期

【１】　$f(x)=x{e}^{-x}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，グラフの概形をかけ．ただし，

$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$

が成り立つことは，証明なしで用いてよい．

(2)　座標平面において，$x$軸上の点$(a,0)$を通り曲線$y=f(x)$に接する直線が存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(6,3\sqrt{2},0)\text{，}\mathrm{B}(8,0,0)\text{，}\mathrm{C}(3,0-5)$がある．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OF}$とし，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AG}$とする．また，線分$\mathrm{OA}$（両端を含む）上を動く点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{F}$と点$\mathrm{G}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{H}$の軌跡は線分（両端を含む）であることを証明せよ．

(3)　線分$\mathrm{PH}$の長さの最大値と最小値を求めよ．

(4)　平面$\alpha$は次の二つの条件を満たすとする．

・$\alpha$は$2$直線$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{BC}$のどちらとも平行である．

・点$\mathrm{O}$から$\alpha$までの距離と，点$\mathrm{B}$から$\alpha$までの距離は等しい．

　このとき，$\alpha$と$z$軸の共有点の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)=\sin (\log \sqrt{x})\text{（}x\geqq 1\text{）}$の値を最大にする$x$のうちで最も小さいものを$a$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^a}\cos (\log x)dx$と${\displaystyle {\int }_1^a}\sin (\log x)dx$の値を求めよ．

(3)　座標平面において，曲線$y=f(x)\text{（}1\leqq x\leqq a\text{），}x$軸，および直線$x=a$で囲まれる図形を$K$とする．$K$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．次の問いに答えよ．ただし，$0<r<1$を満たす実数$r$に対して

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$

が成り立つことは，証明なしで用いてよい．

(1)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

(2)　最初に$n$回を限度として$2$以下の目が出るまでさいころを投げ，次にさいころを投げた回数だけコインを投げる．ただし，さいころを$n$回投げて$n$回とも$3$以上の目が出たときには，コインを$n$回投げる．コインの表がちょうど$1$回出る確率を$P_n$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．

【５】　$a=\sqrt{0.72251}$に対して

$z=\cos a\pi +i\sin a\pi$

とおく．ただし，$i$は虚数単位を表す．複素数$w$の偏角$\arg w$の範囲は

$0\leqq \arg w<2\pi$

であるとして，次の問いに答えよ．

(1)　$0.85<a<0.85001$であることを示せ．

(2)　$\arg z^3$と$\arg z^{12}$を$a$を用いて表せ．

(3)　$\arg z^n<{\displaystyle \frac{\pi }{500}}$となる自然数$n$を一つ求めよ．

(4)　$\arg z^n=0$となる自然数$n$は存在しないことを示せ．