2018　広島大学　AO入試教育学部数理系

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　有理数および無理数とは，それぞれどのような数か述べよ．また，$a\text{，}b\text{（}b\ne 0\text{）}$を有理数とするとき，$a+b\sqrt{2}$は無理数となることを証明せよ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは認めてよい．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$に向かい合う辺$\mathrm{BC}$の長さを$a\text{，}\angle \mathrm{A}$の大きさを$A\text{，}▵\mathrm{ABC}$の外接円の半径を$R$とするとき，

${\displaystyle \frac{a}{\sin A}}=2R$

が成り立つことを証明せよ．ただし，$0\mathrm{°}<A<90\mathrm{°}$であるとする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leqq |a-b|$

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$p\text{，}q\text{，}r$を実数とする．$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+r=0$が虚数解$a+bi$を解にもつならば，$a+bi$と共役な複素数も解となることを証明せよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　次の不等式が成り立つことを証明せよ．ただし，$n$は$2$以上の自然数とする．

${\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^2}}<1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　三角形の$3$本の中線は$1$点で交わること，および各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分されることを証明せよ．

(2)　三角形の$3$つの内角の$2$等分線は$1$点で交わることを証明せよ．

(3)　正三角形の重心と内心は一致することを証明せよ．

(4)　重心と内心が一致する三角形は正三角形であることを証明せよ．

(5)　$3$辺の長さが$8\text{，}5\text{，}5$である二等辺三角形に内接する円の半径を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　導関数の定義に従って

${(\sqrt{x})}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\text{（}x>0\text{）}$

が成り立つことを証明せよ．

(2)　関数$f(x)=\sqrt{x}{e}^{-x}$を考える．

(ⅰ)　$f(x)$の増減と極値を調べて，$y=f(x)$のグラフをかけ．ただし，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x}{e}^{-x}=0$を用いてもよい．

(ⅱ)　$y=f(x)$のグラフを$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))\text{（}a>0\text{）}$における接線$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,0)$とする．$a-b=1$のとき，$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)のとき，$C$と$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．