2018　広島大学　AO入試理学部数学科

【１】　自然数$n$に対して，座標平面上の曲線

$C\text{：}y={\displaystyle \frac{n+1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

と点$\mathrm{P}(1,n+1)$および点$\mathrm{A}(0,1)$を考える．直線$\mathrm{AP}$に直交し，曲線$C$に接する直線を$l$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が直線$l$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$の値が一定であることを示し，その値を$n$を用いて表せ．

(3)　(2)の内積の値を$s_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }(s_n-n)$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{COA}=60\mathrm{°}$であり，$\mathrm{OA}=4\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=1$であるとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$0<s<1$とする．辺$\mathrm{BC}$を$(1-s):s$に内分する点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【３】　自然数$a\text{，}b\text{，}c$を$3$辺の長さとする直角三角形を考える．斜辺の長さは$c$で，$a\text{，}b\text{，}c$の最大公約数は$1$であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$のうち少なくとも一つは奇数であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$のうち少なくとも一つは偶数であることを示せ．

(3)　$a\text{，}b$のうち少なくとも一つは$3$の倍数であることを示せ．

(4)　この直角三角形の面積の値は$6$の倍数であることを示せ．

【４】　$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^n\theta dx\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$I_n<I_{n-1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(2)　$I_n={\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　$n{I}_n{I}_{n-1}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$であることを示せ．

【５】　左右に限りなくのびたテープが縦の線によりマス目に区切られている．一つのマス目を選び${\mathrm{B}}_0$と名前をつける．正の整数$k$に対し，${\mathrm{B}}_0$の$k$個右にあるマス目に${\mathrm{B}}_k\text{，}k$個左にあるマス目に${\mathrm{B}}_{-k}$と名前をつける．

　${\mathrm{B}}_0$の上にコインが表を上にして置かれている．この状態から出発して，サイコロをふり，以下のルールでコインを操作していく．

以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を正の整数とする．$n$回サイコロをふってコインを操作したとき，コインの表が上になっている確率を求めよ．

(2)　$3$回サイコロをふってコインを操作したとき，コインが表を上にして${\mathrm{B}}_1$にある確率，および裏を上にして${\mathrm{B}}_1$にある確率を求めよ．

(3)　$4$回サイコロをふってコインを操作したとき，コインが${\mathrm{B}}_0$にある確率を求めよ．