2018　広島大学　AO理学部物理学科

【１】　以下の設問に答えよ．解答用紙には導き方や考え方も記せ．

問１

(1)　和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^N}{r}^k$を，$r$と$N$で表す式を求めよ．ここで，$N$は正の整数である．

(2)　和$S_N$が$N\to \infty$で収束するための条件を記し，その条件が満たされるときの極限値$\underset{N\to \infty }{\lim }{S}_N$を表す式を求めよ．

(3)　$x>0$のとき，$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x-1}}={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{e}^{-kx}$を証明せよ．

問２　$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　$\log (e^2)$の値を求めよ．

(2)　$\log a=3\text{，}\log b=5$のとき，$\log (ab)$と$\log {\displaystyle \frac{a}{b}}$の値を求めよ．

(3)　$\log 1024$の値を求めよ．ただし，$\log 2$の近似値$0.693$を使え．

(4)　関数$f(x)=\log (1+e^{-x})$の導関数を求めよ．

問３

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{e^x+1}}dx$を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}x{e}^{-ax}dx$を求めよ．ここで，$a$は正の定数である．

(3)　数学公式${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{\displaystyle \frac{x}{e^x-1}}dx={\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$が成り立つことが知られている．以上の問題を参考に，この公式を導く公式を考察せよ．