2018　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$1254$と$4788$の最小公倍数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$2^{2018}$の桁数と$1$の位の数字を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$90\mathrm{°}<\theta <270\mathrm{°}$で$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{7}}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　$2$点$\mathrm{A}(-2,-1)$と$\mathrm{B}(0,1)$について，線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に外分する点を中心とし，点$\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(5)　右図のように$7$本の平行な道とそれらに直交する$10$本の平行な道がある．地点$\mathrm{C}$を通るが地点$\mathrm{D}$を通らずに，地点$\mathrm{A}$から地点$\mathrm{B}$へ行く最短経路の総数を求めよ．

【２】　関数$f(x)$と$g(x)$をそれぞれ次のように定義する．

$g(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{（}\left|x\right|>1\text{）}\\ 1-x^2& \text{（}\left|x\right|\leqq 1\text{），}\end{array}f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}g(t)dt$

　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=g(x)$のグラフを描け．

(2)　$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$の値を求めよ．

(3)　$\left|x\right|\leqq 1$の範囲で$f(x)$を求めよ．

(4)　$\left|x\right|\leqq 1$の範囲で$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【３】　曲線$y=\sqrt{1-2x^2}(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$を$E$とする．$E$上の点$(p,q)$における接線を$l$とし，$l$の方程式を$y=ax+b$とする．ただし，$0<p<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$である．

　次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=\sqrt{1-2x^2}$を微分せよ．

(2)　$a\text{，}b$を$p$を用いて表せ．

(3)　変数変換$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin t$を用いて，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}}\sqrt{1-2x^2}dx$を求めよ．

(4)　曲線$E\text{，}$接線$l\text{，}x$軸で囲まれる図形と曲線$E\text{，}$接線$l\text{，}y$軸で囲まれる図形の面積の和を$S(p)$とする．

(ⅰ)　$S(p)$を求めよ．

(ⅱ)　$S(p)$の最小値とそのときの$p$の値を求めよ．

【４】　四面体$\mathrm{OABC}$は，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=1\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOC}=60\mathrm{°}$

を満たすとする．

　$0<s<1\text{，}0<t<1$を満たす実数$s\text{，}t$に対し，辺$\mathrm{OC}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

　次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$が直交するとき，$s$を$t$を用いて表せ．

(4)　三角形$\mathrm{OQC}$の面積の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

【５】　袋に赤玉が$4$個入っている．$\mathrm{A}$さんと$\mathrm{B}$さんは，次の手順１から手順３までを$1$回の操作とし，この操作を反復する．ただし，$\mathrm{B}$さんの手元には白玉と赤玉がたくさんあるとする．

手順１　$\mathrm{A}$さんは袋から無作為に玉を$1$個取り出し，玉の色を確認せずに，$\mathrm{B}$さんにその玉をわたす．

手順２　$\mathrm{B}$さんは，$\mathrm{A}$さんから受け取った玉が白玉ならば赤玉に，赤玉ならば白玉に取り換えて袋に戻す．

手順３　$\mathrm{B}$さんは袋の中を確認し，すべての玉が同じ色ならば終了を宣言し，すべての操作を終了する．すべての玉の色が同じでなければ，手順１にもどる．

　自然数$n$に対して，操作が$n$回行われ，かつ$n$回目の操作後に袋の中の白玉の数が$1$個，$2$個，$3$個である確率をそれぞれ$p_n\text{，}{p}_n\text{，}{r}_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_1\text{，}{r}_1$および$p_2\text{，}{q}_2\text{，}{r}_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}\text{，}{r}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を用いて表せ．

(3)　ちょうど$n$回目の操作で終了する確率$s_n$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=\log (\sin x)$のグラフ$y=f(x)$上の点$({\displaystyle \frac{3\pi }{4}},f({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\left)\right)$における接線の方程式を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(2)　関数$f(x)=x{e}^{-x^2}$に対して，第$2$次導関数$f^{″}(x)$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}{\displaystyle \frac{e^x}{e^x-1}}dx$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(4)　条件$|z-2-i|=1$を満たす複素数$z$に対して，$\left|z\right|$の最小値を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【７】(1)　$p\text{，}q\text{，}r\text{，}\alpha \text{，}\beta$は複素数で，$p\ne q\text{，}\alpha \ne 0$とする．$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1$を

$p_1=\alpha p+\beta \text{，}{q}_1=\alpha q+\beta \text{，}{r}_1=\alpha r+\beta$

と定義する．実数$t$は$0<t<1$を満たすとする．$p\text{，}q\text{，}r$が表す複素数平面上の点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PQ}$を$t:(1-t)$に内分するとき，$r_1$を$p_1\text{，}{q}_1\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$i$を虚数単位とし，$h$を実数とする．複素数平面において，点$z$が$4$点$0\text{，}1\text{，}1+i\text{，}i$を頂点とする四角形の周を動くとき，

$w=(-2+2i)z+hi$

が表す点の描く線で囲まれた図形を$D_h$とする．

(ⅰ)　$-2+2i$の絶対値と偏角を求めよ．ただし，偏角は$0$以上$2\pi$未満とする．

(ⅱ)　$D_0$の概形を描け．

(ⅲ)　複素数平面における図形$A$を

$A=\{x+yi|x\text{，}y\text{は実数，}-5\leqq x\leqq 5\text{，}4\leqq y\leqq 6\}$

と定義し，$A$と$D_h$の共通部分の面積を$S(h)$とする．ただし，共通部分がない場合や，共通部分が線分や点の場合は，$S(h)=0$とする．$S(h)$の最大値とそのときの$h$の値を求めよ．

【８】　$x>0$の範囲で関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\cos t-x\sin t|dt$

と定義する．また，$x>0$の範囲で関数$g(x)$は

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<g(x)<\pi \text{，}\cos g(x)=-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\text{，}\sin g(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}x>0$のとき，関係式

$\cos t-x\sin t=\sqrt{1+x^2}\sin (t+g(x))$

が成り立つことを示せ．

(2)　すべての$x>0$に対して$f(x)$は

$f(x)=\sqrt{1+x^2}{\displaystyle {\int }_{g(x)}^{\frac{\pi }{2}+g(x)}}|\sin s|ds$

と表せることを示せ．

(3)　$f(x)=2\sqrt{1+x^2}-1-x\text{（}x>0\text{）}$を示せ．

(4)　関数$f(x)\text{（}x>0\text{）}$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【９】　立方体の$8$個の頂点から無作為に$1$つの頂点を選ぶ作業を$4$回行って選んだ点を，それぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$とする．以下の問いに答えよ．ただし，この問題では，三角形，四角形，立方体などの図形は，すべて境界とその内部からなるとする．

(1)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$がすべて異なる確率を求めよ．

(2)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$がすべて異なり，かつその$3$点を通る平面と立方体の共通部分が三角形になる確率を求めよ．

(3)　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$がすべて異なり，かつその$3$点を通る平面と立方体の共通部分が四角形になる確率を求めよ．ただし，${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$が定める平面が立方体の一つの面を含む場合，その面を平面と立方体の共通部分とする．

(4)　$4$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{P}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4$が同一平面上にある確率を求めよ．ただし，$4$点がすべて異なるとは限らないとする．

志望別問題選択一覧

教育（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系除く），農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【４】，【５】

教育（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系）学部　【１】，【３】，【４】，【５】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】