2018　佐賀大学　前期MathJax

【１】　右の図のような$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，線分$\mathrm{DE}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|$の値を求めよ．

【２】　$f(x)=2x(3-x)\text{，}g(x)=x(x-4)$とおき，$0<t<3$とする．$0\leqq x\leqq t$の範囲での曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，直線$x=t$で囲まれた図形の面積を$S_1(t)$とする．$t\leqq x\leqq 4$の範囲での曲線$y=g(x)\text{，}x$軸，直線$x=t$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．

(2)　$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が$0<t<3$の範囲を動くとき$S(t)$の最大値を求めよ．

【３】　座標平面上で，点$\mathrm{P}$は原点$\mathrm{O}$を出発点とし，サイコロを投げて奇数の目が出ればその目の分だけ$x$軸と平行に正の方向に進み，偶数の目が出ればその目の分だけ$y$軸と平行に正の方向に進むものとする．$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1)　サイコロを$3$回投げ終えたとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標が等しくなる確率を求めよ．

(2)　サイコロを$n$回投げ終えたとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標が$2$となる確率を$n$を用いて表せ．

(3)　サイコロを$n-1$回投げ終えたときには点$\mathrm{P}$の$y$座標が$2$以下であり，かつ$n$回投げ終えたときに点$\mathrm{P}$の$y$座標が$4$以上である確率を$n$を用いて表せ．

【２】　数列$\{a_n\}$は

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=1& \\ a_{n+1}=\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{a_n}{n+1}}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$4$つの有理数$p\text{，}q\text{，}r\text{，}s$が

$p+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$

を満たすとする．このとき，$p=r$かつ$q=s$であることを示せ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは用いてよい．

(2)　不等式

$(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})\sqrt{2}<a_n<\sqrt{2}$

が成立することと，$a_n=p_n+q_n\sqrt{2}$（$p_n$および$q_n$は有理数）と表されることを$n$に関する数学的帰納法を用いて示せ．

(3)　(2)で定義された数列$\{p_n\}$に対して，$p_{n+1}$と$p_n$が満たす関係式，および一般項$p_n$を求めよ．

【３】　$f(x)=x{e}^{-x}$とする．$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{P}(t,0)\text{，}\mathrm{Q}(t,f(t))\text{，}\mathrm{R}(4,0)$とする．ただし，$0<t<4$とする．$▵\mathrm{PQR}$の面積を$S_1(t)$とし，線分$\mathrm{OQ}$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_2(t)$とする．$S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$は用いてよい．

(2)　$S_1(t)$を$t$を用いて表せ．

(3)　$S_2(t)$を$t$を用いて表せ．

(4)　$S(t)$の極値を求めよ．

【４】　曲線$C\text{：}y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\log t)$をとる．ただし，点$\mathrm{P}$および原点を通る直線と点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が垂直に交わっているものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$\log t$を$t$についての整式で表せ．

(2)　$0<x<1$の範囲で不等式

$2\log x<-x^2+4x-3$

が成立することを示せ．

(3)　$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{t}^{2n-1}$とおく．$S={\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}$となるような$t$についての整式$f(t)\text{，}g(t)$を一組求めよ．また，$S>1.1$となることを示せ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$1\text{，}4\text{，}9\text{，}16$のように，自然数の$2$乗で表せる数を平方数という．$n$を平方数でない自然数とするとき，$\sqrt{n}$は無理数であることを示せ．

(2)　$a\text{，}b$を正の有理数，$n$を自然数とするとき，$a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}$は無理数であることを示せ．

【２】　関数$f(x)$は$x=0$で微分可能であり，すべての実数$x\text{，}y$について等式

$f(x+y)=f(x)\cos y+f(y)\cos x$

が成り立つとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．$f(x)$は$x=a$で微分可能であることを示せ．

(3)　$f^{\prime }(0)=3$であるとする．$f^{\prime }(x)$および$f(x)$を求めよ．

【３】　$a$を正の数とする．放物線$C_1\text{：}y=x^2$を$x$軸方向に$a\text{，}y$軸方向に$2a$だけ平行移動した放物線を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　放物線$C_2$の点$\mathrm{P}$における接線の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた接線の傾きと$y$切片がともに正となるような正数$a$の値の範囲を求めよ．