2018　鹿児島大学　前期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=1\text{，}$$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径$r$を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　${\sin }^{2}x-{\sin }^{2}y=\sin (x+y)\sin (x-y)$を示せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　$p$を素数とするとき，$1\leqq k\leqq p-1$を満たす自然数$k$に対して，二項係数${}_{p}C_k$は$p$の倍数であることを示せ．

【２-１】　曲線$y=x^2$と直線$y=4$の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$y=x^2$上を$-2<x<2$の範囲で動くとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

(2)　(1)で求めた軌跡と直線$y=4$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【２-２】　平面上で二つの曲線$y=\sin x$と$y=\cos 2x$を考える．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$y=\sin x$と$y=\cos 2x$の共有点を求めよ．

(2)　二つの曲線$y=\sin x\text{，}$$y=\cos 2x$と二つの直線$x=0\text{，}$$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３-１】　数列$\{a_n\}$が自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して関係式

$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0\cdots$(＊)

を満たすとき，「数列$\{a_n\}$は漸化式(＊)を満たす」という．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　初項と公比がともに$r$$\text{（}\ne 0\text{）}$である等比数列で漸化式(＊)を満たす数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．ただし，$b_1>c_1$とする．

(2)　二つの数列$\{d_n\}\text{，}$$\{e_n\}$がともに漸化式(＊)を満たすとき，二つの実数$k\text{，}$$l$に対して$f_n=k{d}_n+l{e}_n$で定められる数列$\{f_n\}$も漸化式(＊)を満たすことを示せ．

(3)　(1)で得られた数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$と二つの実数$k\text{，}$$l$に対して，$a_n=k{b}_n+l{c}_n$とおくとき$a_1=21\text{，}$$a_2=57$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【３-２】　三角形$\mathrm{ABC}$とその内部に点$\mathrm{O}$があり，正の実数$k\text{，}$$l$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+k\overrightarrow{\mathrm{OB}}+l\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしていると仮定する．さらに直線$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{BC}\text{，}$直線$\mathrm{OB}$と辺$\mathrm{CA}\text{，}$直線$\mathrm{OC}$と辺$\mathrm{AB}$の交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=x\overrightarrow{\mathrm{OA}}$とおくとき，$x$を$k\text{，}$$l$を用いて表せ．さらに${\displaystyle \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AD}}}$を$k\text{，}$$l$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=y\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおくとき，$y$を$k\text{，}$$l$を用いて表せ．さらに${\displaystyle \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{BE}}}$を$k\text{，}$$l$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{AD}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{BE}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{CF}}}=1$を示せ．

【３-３】　$1$個のサイコロを投げ，$1$の目が出るまでこれを繰り返し行う．ただし，このサイコロ投げを繰り返す最大の回数は$N$回とし$\text{（}N\geqq 2\text{），}$$N$回まで繰り返して$1$の目がでなければ，終了する．このサイコロ投げにおける繰り返し回数を$X$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　確率$P(X=k)$を，$k<N$と$k=N$の場合に分けて求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log (x+1)}{x+1}}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$x\geqq 0$とする．また，$\log (x+1)$は$x+1$の自然対数を表す．

(1)　自然対数の底$e$に対して，$t\geqq 0$のとき$e^t>{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$が成立することを用いて

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log (x+1)}{x+1}}=0$

を示せ．

(2)　$f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

(3)　自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して正の数$a_n$を，曲線$y=f(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた部分の面積が$n^2$に等しくなるように定める．この$a_n$を求めよ．

(4)　(3)で定まる数列$\{a_n\}$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$を求めよ．

【５】　複素数平面上の点$z$が$|4-3i-iz|=2$を満たすとする．このとき，次の各問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　点$z$の全体が表す図形を求めよ．

(2)　$\left|z\right|$の最大値と最小値を求めよ．

(3)　$w={\displaystyle \frac{1}{z+1+4i}}$とする．点$w$の全体が表す図形を求めよ．さらに，$\left|w\right|$の最小値を与える$w$を求めよ．ただし，$z\ne -1-4i$とする．