2018　琉球大学　後期理学部MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の長さを$x$とおく．次の問いに答えよ．

問１　$x$を用いて$\tan \angle \mathrm{EPC}$を表せ．

問２　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\tan \angle \mathrm{EPC}$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　座標平面において，曲線$y=e^x$上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を結ぶ線分の中点が$(0,2)$であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と曲線$y=e^x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$f(x)$は$4$次の整式で，$x^4$の係数は$1$であるとする．次の問いに答えよ．

問１　方程式$f(x)=0$が$4$個の異なる実数解をもつとき，方程式$f^{\prime }(x)=0$は$3$個の異なる実数解をもつことを示せ．

問２　$f(x)$が$f^{\prime }(0)=f^{″}(0)=0$をみたすならば，方程式$f^{\prime }(x)=0$の異なる実数解の個数は$2$個以下であることを示せ．

問３　方程式$f(x)=0$が$3$重解をもち，$f^{\prime }(0)=f^{″}(0)=0$ならば，$f(0)=0$であることを示せ．

【４】　不等式$-1\leqq x\leqq 1\text{，}-1\leqq y\leqq 1$が表す座標平面内の領域を$D$とする．原点$\mathrm{O}$を通る円$C$を考える．円$C$が$D$に含まれるという条件のもとで，$C$の中心$\mathrm{P}$が動く範囲を図示せよ．