2018　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　実数$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0$に対して

$x+y^2=y+z^2=z+x^2$

が成り立つとする．このとき$x=y=z$であることを証明せよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$x$を実数とする．このとき，実数全体からなる集合の$2$つの部分集合

$P(x)=\{y|t^2+xt+\left|y\right|=0\text{をみたす実数}t\text{が存在する}\}$

$Q(x)=\{y|\text{すべての実数}t\text{に対して}x{t}^2+yt+1>1\text{が成り立つ}\}$

を考える．このとき$P(x)\subset Q(x)$が成り立つための$x$に関する必要十分条件を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$a>0$とし，点$\mathrm{P}(x,y)$は，$y$軸からの距離$d_1$と点$(2,0)$からの距離$d_2$が$a{d}_1=d_2$を満たすものとする．$a$が次の値のとき，点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求めよ．

【２】　座標平面上において$2$点$\mathrm{A}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}},\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})\text{，}\mathrm{B}(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}},-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})$をとる．また，$\theta$を$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数とし，$x$軸の正の向きとなす角が$\theta$であるような原点を端点とする半直線を$l_{\theta }$とする．各$\theta$において，半直線$l_{\theta }$上を動く点$\mathrm{P}$の中で，$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$の値が最小となるような$\mathrm{P}$を${\mathrm{P}}_{\theta }$と定める．以下の各問に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径を求めよ．

(2)　$\theta$が次の条件をみたすき，${\mathrm{P}}_{\theta }$の座標を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとき，$l_{\theta }$に関して$\mathrm{A}$と対称な点${\mathrm{A}}_{\theta }$の座標を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとき，$\angle {\mathrm{AP}}_{\theta }\mathrm{B}$を求めよ．

(5)　$\theta$が$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を動くとき，${\mathrm{P}}_{\theta }$の描く曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の$4$人が，右のトーナメント表の$\boxed{1}$から$\boxed{4}$枠に割り当てられた後に試合を行う．ただし$4$人が$\boxed{1}$から$\boxed{4}$枠に割り当てられる確率は等しいものとする．試合では$\mathrm{A}$が最も強く，以下，$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の順に弱くなっていき，$\mathrm{D}$が最も弱い．自分より弱い人と対戦した際に勝つ確率を$p$とする．ただし，${\displaystyle \frac{1}{2}}<p<1$である．また，この試合に「引き分け」は存在せず，必ず勝敗が決するものとする．

　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$それぞれが優勝する確率をそれぞれ$p_{\mathrm{A}}\text{，}{p}_{\mathrm{B}}\text{，}{p}_{\mathrm{C}}\text{，}{p}_{\mathrm{D}}$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　準決勝で「$\mathrm{A}$対$\mathrm{B}$」の対戦が実現する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{B}$が準決勝で勝つ確率を$p$を用いて表せ．

(3)　$p_{\mathrm{B}}$を$p$を用いて表せ．

(4)　$p_{\mathrm{C}}$を$p$を用いて表せ．

(5)　$p_{\mathrm{A}}\text{，}2p_{\mathrm{B}}\text{，}3p_{\mathrm{C}}$を比較したとき，$2p_{\mathrm{B}}$が最も大きくなる$p$に関する条件を求めよ．

【４】　$a>0$とする．座標平面において点$(2a,0)$から曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$に引いた接線を$l$とする．この接点の$x$座標を$b$とし，$l$と$y$軸の交点の座標を$(0,c)$とする．また，直線$l$と曲線$C$および直線$x=2a$で囲まれる部分を$S$とし，直線$l$と曲線$C$および直線$y=c$で囲まれる部分を$T$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　$b$と$c$を$a$を用いて表せ．

(2)　$S$と$T$の面積を求めよ．

　$S\text{，}T$を直線$x=b$のまわりに$1$回転してできる立体の体積をそれぞれ$U\text{，}V$とする．また，$T$を直線$y={\displaystyle \frac{1}{b}}$のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$W$とする．

(3)　$U\text{，}V\text{，}W$を$a$を用いて表せ．

(4)　$U$と$V$の大小関係を求めよ．必要であれば$2^{10}<e^7$であることを用いてよい．ただし$e$は自然対数の底である．