2018　公立はこだて未来大学　前期MathJax

【１】　$y=2^x+2^{-x}$とおく．以下の問いに答えよ．

問１　$y$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

問２　$y^3-6y^2+11y-6=0$をみたす正の$x$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とするとき，以下の問いに答えよ．

問１　不等式$x(x^2-4a)<0$を解け．

問２　関数$y=|x(x^2-4a)|$のグラフをかけ．

問３　関数$g(x)$が$g(x)=x^3-4x{\displaystyle {\int }_0^1}|g(t)|dt$をみたすとき，$g(x)$の極大値を求めよ．

【１】　$3$次方程式$x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma =0$の$3$つの解を$2\text{，}\cos \theta +i(\sin \theta )\text{，}$および$\cos \theta -i(\sin \theta )$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲の実数とする．

問１　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$をそれぞれ$\theta$で表せ．

問２　$\theta$に関する条件$p$と$q$を

$\{\begin{array}{l}\text{条件}p\text{：}-1\leqq \alpha \leqq 0\\ \text{条件}q\text{：}-3<\beta <-1\end{array}$

と，それぞれ定める．命題$p⟹q$の真偽を調べよ．

問３　問２で定めた条件$p$と$q$に対して，命題$p⟹q$の裏を示し，その真偽を調べよ．

【２】　漸化式$a_{n+1}-10a_n=1\text{，}{a}_1=1$をみたす数列$\{a_n\}$について，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は正の整数とする．

問１　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

問２　$m$を正の整数とする．$a_{m+1}{a}_{n+1}-10a_m{a}_n=a_k$となるとき，$k$を$m$と$n$で表せ．

問３　$a_{2n+3}\leqq {\displaystyle \frac{107\cdot {10}^{n+4}-7\cdot {10}^7-1}{9}}$をみたす$n$をすべて求めよ．

問４　$b_n=a_{n+3}{a}_{n+1}-10a_{n+2}{a}_n$とおくとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x-2+{\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$とする．また，$n$を正の整数とし，数列$\{a_n\}$を以下で定める．

　点$(a_n,f(a_n))$における$y=f(x))$の接線を$l_n$とし，$l_n$と$x$軸の交点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．

以下の問いに答えよ．

問１　関数$y=f(x)$の極値，変曲点を調べ，グラフをかけ．

問２　$l_n$を求め，数列$\{a_n\}$がみたす漸化式を求めよ．

問３　$a_1=3$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求め，さらに$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　極方程式$r={\displaystyle \frac{2}{2+\cos \theta }}$で表される曲線を$C$とする．以下の問いに答えよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

問１　極座標$(r,\theta )$と直交座標$(x,y)$の間の関係$x=r\cos \theta \text{，}y=r\sin \theta$を用いて，曲線$C$を直交座標に関する方程式で表せ．

問２　曲線$C$の概形を座標平面にかけ．

問３　この曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．