2018　公立はこだて未来大学　AOMathJax

【１】　座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の単位円上の点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．$x$軸と$\mathrm{OP}$の角度を$\alpha \text{，}x$軸と$\mathrm{OQ}$の角度を$\beta \text{，}x$軸と$\mathrm{OR}$の角度を$\gamma$とする．以下の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離$a$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．

問２　問１で求めた数式を用いて$a=1$の場合の$\cos (\alpha -\beta )$の値を求めよ．

問３　$\gamma =\beta +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるとする．$\tan (\alpha -\beta )$の値を点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離$a$および点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$の距離$b$を用いて求めよ．

【２】　$n$進数では，その数の右下に${}_{(n)}$と書く．例えば，$2$進数$1010$を${1010}_{(2)}$と書く．ただし，$10$進数では${}_{(10)}$を省略する．以下の問いに答えよ．

問１　${10010}_{(2)}\times 17$の値を$2$進法で表せ．

問２　${101}_{(3)}\times {223}_{(4)}$の値を$5$進法で表せ．

問３　${222}_{(n)}=114$をみたす$n$を求めよ．ただし，$n$は$3$以上の自然数とする．

【３】　$a$を実数とする．$2$つの放物線$y=x^2-2$と$y=-x^2-4ax-6a^2+4a-2$が異なる$2$点で交わるとする．以下の問いに答えよ．

問１　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

問２　$2$つの放物線で囲まれる図形の面積$S(a)$を求めよ．

問３　$S(a)$の最大値とそのときの$a$を求めよ．